题目

Problem

(i)

$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(a) Describe fully the single transformation represented by the matrix $\mathbf{A}$ .

(2)

The matrix $\mathbf{B}$ represents a stretch scale factor 2 parallel to the $x$ -axis.

(b) Write down the matrix $\mathbf{B}$ .

(1)

The transformation represented by matrix $\mathbf{B}$ followed by the transformation represented by matrix $\mathbf{A}$ is the transformation represented by the matrix $\mathbf{C}$ .

(2)

(ii)

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} k & -2 \\ -1 & 2k \end{pmatrix}$

where $k$ is a constant.

Given that the transformation represented by matrix $\mathbf{M}$ maps the point $(k, k)$ onto the point $(35, 91)$

(a) determine the value of $k$ .

(4)

A quadrilateral $Q$ is transformed to another quadrilateral $Q'$ by the matrix $\mathbf{M}$ .

Given that $Q'$ has area 336

(b) use the value of $k$ found in part (ii)(a) to determine the area of $Q$ .

(2)

题目中文翻译

(i) 设矩阵 $\mathbf{A} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$

(a) 完整地描述矩阵 $\mathbf{A}$ 所代表的单一几何变换。

(b) 矩阵 $\mathbf{B}$ 代表沿 $x$ 轴方向、比例因子（scale factor）为 2 的拉伸变换。写出矩阵 $\mathbf{B}$ 。

(ii) 设矩阵 $\mathbf{M} = \begin{pmatrix} k & -2 \\ -1 & 2k \end{pmatrix}$

其中 $k$ 为常数。

已知由矩阵 $\mathbf{M}$ 所代表的变换将点 $(k, k)$ 映射到点 $(35, 91)$ 上。

(a) 确定 $k$ 的值。

(b) 四边形 $Q$ 经矩阵 $\mathbf{M}$ 变换为另一个四边形 $Q'$ 。已知 $Q'$ 的面积为 336，利用在 (ii)(a) 中求得的 $k$ 的值，确定四边形 $Q$ 的面积。

解答

(i)(a)

解法一

思路

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把矩阵与标准旋转矩阵比较。左上角给出 $\cos\theta=-\frac12$ ，左下角给出 $\sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}$ ，因此角度位于第三象限。完整描述还必须写出旋转中心。

答题过程

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The standard matrix for an anticlockwise rotation through $\theta$ about the origin is

\begin{pmatrix} \cos\theta&-\sin\theta\\ \sin\theta&\cos\theta \end{pmatrix}.

Here,

\cos\theta=-\frac12, \qquad \sin\theta=-\frac{\sqrt3}{2}.

Thus $\theta=240^\circ$ . Therefore, $\mathbf A$ represents

\boxed{\text{a rotation through }240^\circ \text{ anticlockwise about the origin}}.

(i)(b)

解法一

思路

展开

沿 $x$ 轴方向、比例因子为 2 的拉伸把横坐标乘以 2，而纵坐标保持不变。

答题过程

展开

The stretch maps

(x,y)\longmapsto(2x,y).

Hence

\boxed{ \mathbf B= \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}}.

(i)(c)

解法一

思路

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先进行 $\mathbf B$ 、再进行 $\mathbf A$ ，所以对列向量而言复合矩阵的顺序是 $\mathbf A\mathbf B$ 。矩阵乘法不能随意交换次序。

答题过程

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Since the transformation represented by $\mathbf B$ is followed by that represented by $\mathbf A$ ,

\begin{align*} \mathbf C =&\,\mathbf A\mathbf B\\ =&\,\begin{pmatrix} -\frac12&\frac{\sqrt3}{2}\\ -\frac{\sqrt3}{2}&-\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&0\\ 0&1 \end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \begin{pmatrix} -1&\frac{\sqrt3}{2}\\ -\sqrt3&-\frac12 \end{pmatrix}}. \end{align*}

(ii)(a)

解法一

思路

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把点 $(k,k)$ 写成列向量并左乘 $\mathbf M$ ，再分别比较像点的两个坐标。两个所得方程必须同时成立；将第二个方程减去第一个方程的两倍，会直接得到关于 $k$ 的一次方程。

答题过程

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The given mapping gives

\begin{pmatrix} k&-2\\ -1&2k \end{pmatrix} \begin{pmatrix}k\\k\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}35\\91\end{pmatrix}.

Therefore,

k^2-2k=35

and

2k^2-k=91.

Subtracting twice the first equation from the second,

\begin{align*} (2k^2-k)-2(k^2-2k)=&\,91-70\\ 3k=&\,21. \end{align*}

Hence

\boxed{k=7}.

(ii)(b)

解法一

思路

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矩阵变换把面积乘以行列式的绝对值。把 $k=7$ 代入 $\mathbf M$ 求出面积比例因子，再由 $Q'$ 的面积反求 $Q$ 的面积。

答题过程

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When $k=7$ ,

\mathbf M= \begin{pmatrix} 7&-2\\ -1&14 \end{pmatrix}.

The area scale factor is

\begin{align*} \big|\det\mathbf M\big| =&\,\big|7(14)-(-2)(-1)\big|\\ =&\,96. \end{align*}

Therefore,

336=96\times\operatorname{Area}(Q),

\boxed{\operatorname{Area}(Q)=\frac{336}{96}=\frac72}.

IAL 2025 Jan FP1 Q7

题目

解答

(i)(a)

解法一

思路

答题过程

(i)(b)

解法一

思路

答题过程

(i)(c)

解法一

思路

答题过程

(ii)(a)

解法一

思路

答题过程

(ii)(b)

解法一

思路

答题过程