矩阵 $P$ 表示变换 $P$。

$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}$

(a) 完整描述 $P$ 作为单一几何变换。

(2)

矩阵 $Q$ 表示变换 $Q$。

$Q = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

(b) 完整描述 $Q$ 作为单一几何变换。

(2)

变换 $R$ 是关于直线 $y = -x$ 的反射。

(c) 写出表示 $R$ 的矩阵。

(1)

变换 $R$ 将点 $(4, 3)$ 映射到点 $A$。

(d) 求点 $A$ 的坐标。

(1)

变换 $P$ 后接变换 $Q$ 将点 $B$ 映射到点 $A$。

(e) 求点 $B$ 的坐标。

(2)

观察矩阵对一般点 $(x,y)$ 的作用：它把 $(x,y)$ 变为 $(y,-x)$。这正是绕原点顺时针旋转 $90^\circ$，完整描述必须包含变换类型、角度、方向和中心。

The matrix maps

Therefore, $P$ is a

矩阵 $Q=5I$ 把每个位置向量乘以 5，方向不变、长度变为原来的 5 倍。因此它是以原点为中心、比例因子为 5 的放大。

The matrix maps

Therefore, $Q$ is an

关于直线 $y=-x$ 反射时，横、纵坐标互换并同时变号，即 $(x,y)\mapsto(-y,-x)$，由此直接读出矩阵的两列。

Reflection in the line $y=-x$ maps

Hence

把点 $(4,3)$ 的列向量左乘 (c) 的反射矩阵，即可得到像点 $A$。

Using the matrix from part (c),

Therefore,

设 $B=(x,y)$，按题目顺序先应用 $P$、再应用 $Q$，并令最终坐标等于 (d) 的 $A=(-3,-4)$。矩阵变换一般不可交换，所以要保持题目给出的先后次序。

Let $B=(x,y)$. Under $P$,

and then under $Q$,

Since the final point is $A=(-3,-4)$,

Thus

and hence

也可以先组成复合变换矩阵 $QP$，再用其逆矩阵把像点 $A$ 还原成原像点 $B$。这条路线与官方评分资料列出的逆矩阵方法一致。

Since $P$ is followed by $Q$, the composite matrix is

Therefore,

Hence