本题必须展示所有运算步骤。

完全依赖计算器技术的解答不可接受。

(i) $f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}$

已知方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[0, 1]$ 内有唯一根 $\alpha$

使用区间二分法确定宽度为 0.25 且包含 $\alpha$ 的区间。

(3)

(ii) $g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x$

其中 $x$ 以弧度为单位。

(a) 证明方程 $g(x) = 0$ 在区间 $[4, 5]$ 内有根 $\beta$

(2)

(b) 在区间 $[4, 5]$ 上使用一次线性插值法求 $\beta$ 的近似值。

答案精确到 4 位有效数字。

(2)

从已知区间 $[0,1]$ 开始二分。先计算中点 $0.5$ 的函数值，根据端点异号把区间缩为 $[0,0.5]$；再计算新中点 $0.25$ 的函数值，得到宽度恰为 $0.25$ 的含根区间。必须写出函数值，不能只写正负号。

For

we have

Since $f(0)>0$ and $f(0.5)<0$, the root lies in $[0,0.5]$. Bisecting this interval again,

As $f(0)>0$ and $f(0.25)<0$, and $f$ is continuous, the required interval is

分别计算区间两端的函数值。因为指数函数、正弦和余弦都连续，所以 $g$ 在 $[4,5]$ 上连续；端点函数值异号后，使用介值定理即可证明区间内有根。

Using radians,

whereas

The function $g$ is continuous on $[4,5]$. Since $g(4)$ and $g(5)$ have opposite signs, the intermediate value theorem shows that $g(x)=0$ has a root $\beta$ in

承接 (a) 的两个端点函数值，用连接 $(4,g(4))$ 与 $(5,g(5))$ 的弦和 $x$ 轴的交点近似根。由于右端函数值为负数，分母必须保留减去负数的符号。

Using linear interpolation once,

Therefore, to $4$ significant figures,