题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

(i)

f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}

Given that the equation $f(x) = 0$ has a single root, $\alpha$ , in the interval $[0, 1]$

use interval bisection to determine an interval of width 0.25 that contains $\alpha$ .

(3)

(ii)

g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x

where $x$ is in radians.

(a) Show that the equation $g(x) = 0$ has a root, $\beta$ , in the interval $[4, 5]$

(2)

(b) Use linear interpolation once on the interval $[4, 5]$ to determine an approximation for $\beta$ .

Give your answer to 4 significant figures.

(2)

题目中文翻译

本题必须展示所有运算步骤。

完全依赖计算器技术的解答不可接受。

(i)

f(x) = x^2 + 5 - 8^{5x}

已知方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[0, 1]$ 内有唯一根 $\alpha$

使用区间二分法确定宽度为 0.25 且包含 $\alpha$ 的区间。

(3)

(ii)

g(x) = 3^{\sin x} - 3\cos x

其中 $x$ 以弧度为单位。

(a) 证明方程 $g(x) = 0$ 在区间 $[4, 5]$ 内有根 $\beta$

(2)

(b) 在区间 $[4, 5]$ 上使用一次线性插值法求 $\beta$ 的近似值。

答案精确到 4 位有效数字。

(2)

解答

(i)

解法一

思路

展开

从已知区间 $[0,1]$ 开始二分。先计算中点 $0.5$ 的函数值，根据端点异号把区间缩为 $[0,0.5]$ ；再计算新中点 $0.25$ 的函数值，得到宽度恰为 $0.25$ 的含根区间。必须写出函数值，不能只写正负号。

答题过程

展开

For

f(x)=x^2+5-8^{5x},

we have

\begin{align*} f(0)=&\,4,\\ f(0.5)=&\,(0.5)^2+5-8^{2.5}\\ =&\,-175.769\ldots \end{align*}

Since $f(0)>0$ and $f(0.5)<0$ , the root lies in $[0,0.5]$ . Bisecting this interval again,

\begin{align*} &\,f(0.25)\\ =&\,(0.25)^2+5-8^{1.25}\\ =&\,-8.39184\ldots \end{align*}

As $f(0)>0$ and $f(0.25)<0$ , and $f$ is continuous, the required interval is

\boxed{[0,0.25]}.

(ii)(a)

解法一

思路

展开

分别计算区间两端的函数值。因为指数函数、正弦和余弦都连续，所以 $g$ 在 $[4,5]$ 上连续；端点函数值异号后，使用介值定理即可证明区间内有根。

答题过程

展开

Using radians,

\begin{align*} g(4) =&\,3^{\sin4}-3\cos4\\ =&\,2.396\ldots>0, \end{align*}

whereas

\begin{align*} g(5) =&\,3^{\sin5}-3\cos5\\ =&\,-0.502\ldots<0. \end{align*}

The function $g$ is continuous on $[4,5]$ . Since $g(4)$ and $g(5)$ have opposite signs, the intermediate value theorem shows that $g(x)=0$ has a root $\beta$ in

\boxed{[4,5]}.

(ii)(b)

解法一

思路

展开

承接 (a) 的两个端点函数值，用连接 $(4,g(4))$ 与 $(5,g(5))$ 的弦和 $x$ 轴的交点近似根。由于右端函数值为负数，分母必须保留减去负数的符号。

答题过程

展开

Using linear interpolation once,

\begin{align*} &\,\beta\\ \approx&\,4\\ &\,\hspace{2pt}+\frac{0-g(4)}{g(5)-g(4)}\\ &\,\hspace{4pt}\times(5-4). \end{align*}

The denominator is

\begin{align*} D=&\,g(5)-g(4)\\ =&\,-0.502\ldots\\ &\,\hspace{2pt}-2.396\ldots\\ =&\,-2.898622\ldots \end{align*}

Thus

\begin{align*} \beta\approx&\,4+\frac{-2.396\ldots}{D}\\ =&\,4+\frac{-2.396\ldots}{-2.898622\ldots}\\ =&\,4.826722\ldots \end{align*}

Therefore, to $4$ significant figures,

\boxed{\beta\approx4.827}.

FP1 2025 May Q3

题目

解答

(i)

解法一

思路

答题过程

(ii)(a)

解法一

思路

答题过程

(ii)(b)

解法一

思路

答题过程