题目

Problem

The rectangular hyperbola $C$ has equation $xy = 81$

The point $P\left(9t, \dfrac{9}{t}\right)$ , $t \neq 0$ , lies on $C$ .

(a) Use calculus to show that the normal to $C$ at $P$ has equation

ty = t^3x + 9(1 - t^4)

(4)

The normal to $C$ at $P$ meets the $y$ -axis at the point $A$ .

(b) Determine the exact coordinates of $A$ in terms of $t$ .

(2)

Given that $t = \dfrac{1}{3}$

(2)

题目中文翻译

等轴双曲线 $C$ 的方程为 $xy = 81$

点 $P\left(9t, \dfrac{9}{t}\right)$ ， $t \neq 0$ ，在 $C$ 上。

(a) 用微积分方法证明 $C$ 在 $P$ 处的法线方程为

ty = t^3x + 9(1 - t^4)

(4)

$C$ 在 $P$ 处的法线与 $y$ 轴相交于点 $A$ 。

(b) 用 $t$ 表示，求点 $A$ 的精确坐标。

(2)

已知 $t = \dfrac{1}{3}$

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对 $xy=81$ 作隐式求导，求出点 $P$ 处的切线斜率；法线斜率是切线斜率的负倒数。然后使用点斜式，并整理成题目指定的形式。

答题过程

展开

Differentiating $xy=81$ implicitly with respect to $x$ ,

x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=0.

Hence

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-\frac{y}{x}.

At $P\left(9t,\frac9t\right)$ , the gradient of the tangent is

m_{\mathrm{tangent}} =-\frac{9/t}{9t} =-\frac1{t^2}.

Therefore, the gradient of the normal is

m_{\mathrm{normal}}=t^2.

Using the point-gradient form,

\begin{align*} y-\frac9t =&\,t^2(x-9t)\\ ty-9 =&\,t^3x-9t^4\\ ty =&\,t^3x+9(1-t^4), \end{align*}

as required.

(b)

解法一

思路

展开

点 $A$ 在 $y$ 轴上，所以令法线方程中的 $x=0$ ，再解出对应的 $y$ 坐标。

答题过程

展开

At the $y$ -axis, $x=0$ . Substituting this into the equation of the normal gives

ty=9(1-t^4).

Since $t\ne0$ ,

y=\frac9t(1-t^4).

Therefore,

\boxed{A\left(0,\frac9t(1-t^4)\right)}.

(c)

解法一

思路

展开

先把 $t=\frac13$ 代入点 $P$ 与 (b) 的点 $A$ 。以竖直线段 $OA$ 为底时，三角形的高就是点 $P$ 到 $y$ 轴的水平距离，因此可直接用 $\frac12\times\text{底}\times\text{高}$ 。

答题过程

展开

When $t=\frac13$ ,

P=\left(3,27\right).

Also, from part (b),

\begin{align*} &\,y_A\\ =&\,\frac9{1/3}\\ &\,\hspace{2pt}\times\bigg[1-\bigg(\frac13\bigg)^4\bigg]\\ =&\,27\bigg(1-\frac1{81}\bigg)\\ =&\,27\times\frac{80}{81}\\ =&\,\frac{80}3. \end{align*}

Thus

A=\bigg(0,\frac{80}3\bigg).

Taking $OA$ as the base, the perpendicular height from $P$ to the $y$ -axis is $3$ . Hence

\begin{align*} \operatorname{Area}(OPA) =&\,\frac12\times\frac{80}{3}\times3\\ =&\,\boxed{40}. \end{align*}

FP1 2025 May Q4

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程