IAL 2025 May FP1 Q6 | 國際數學站

Question

[!problem]

$f(x) = 3x^2 + kx - 5$

where $k$ is a constant.

The equation $f(x) = 0$ has roots $\alpha$ and $\beta$ .

(a) State the value of $\alpha\beta$ .

(1)

Given that $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$

(b) determine the value of $k$ .

(2)

(c) By first expanding $(\alpha + \beta)^3$ prove that

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

(2)

Without solving the equation $f(x) = 0$

(d) find a quadratic equation with integer coefficients that has roots

$(\alpha^2 + \beta) \text{ and } (\alpha + \beta^2)$

(6)

中文翻译

$f(x) = 3x^2 + kx - 5$

其中 $k$ 是常数。

方程 $f(x) = 0$ 有根 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

(a) 写出 $\alpha\beta$ 的值。

(1)

已知 $\alpha + \beta = 9\alpha\beta$

(b) 求 $k$ 的值。

(2)

(c) 先展开 $(\alpha + \beta)^3$ ，证明

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$

(2)

不解方程 $f(x) = 0$

(d) 求一个具有整数系数的二次方程，使其根为

$(\alpha^2 + \beta) \text{ 和 } (\alpha + \beta^2)$

(6)