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IAL 2025 May FP1 Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2025 May Paper · Question 6

Question

Problem

f(x)=3x2+kx−5f(x) = 3x^2 + kx - 5

where kk is a constant.

The equation f(x)=0f(x) = 0 has roots α\alpha and β\beta.

(a) State the value of αβ\alpha\beta.

(1)

Given that α+β=9αβ\alpha + \beta = 9\alpha\beta

(b) determine the value of kk.

(2)

(c) By first expanding (α+β)3(\alpha + \beta)^3 prove that

α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)

(2)

Without solving the equation f(x)=0f(x) = 0

(d) find a quadratic equation with integer coefficients that has roots

(α2+β) and (α+β2)(\alpha^2 + \beta) \text{ and } (\alpha + \beta^2)

(6)

中文翻译

f(x)=3x2+kx−5f(x) = 3x^2 + kx - 5

其中 kk 是常数。

方程 f(x)=0f(x) = 0 有根 α\alpha 和 β\beta。

(a) 写出 αβ\alpha\beta 的值。

(1)

已知 α+β=9αβ\alpha + \beta = 9\alpha\beta

(b) 求 kk 的值。

(2)

(c) 先展开 (α+β)3(\alpha + \beta)^3，证明

α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β)\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)

(2)

不解方程 f(x)=0f(x) = 0

(d) 求一个具有整数系数的二次方程，使其根为

(α2+β) 和 (α+β2)(\alpha^2 + \beta) \text{ 和 } (\alpha + \beta^2)

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对二次方程使用根与系数关系：两根之积等于常数项除以二次项系数。

答题过程

展开

By the product of roots,

αβ=−53=−53.\boxed{\alpha\beta=\frac{-5}{3}=-\frac53}.

(b)

解法一

思路

展开

由根与系数关系写出 α+β=−k3\alpha+\beta=-\frac{k}{3}，再把 (a) 的 αβ\alpha\beta 代入已知关系，即可解出 kk。

答题过程

展开

By the sum and product of roots,

α+β=−k3,αβ=−53.\alpha+\beta=-\frac{k}{3}, \qquad \alpha\beta=-\frac53.

Given that α+β=9αβ\alpha+\beta=9\alpha\beta,

−k3= 9(−53)= −15.\begin{align*} -\frac{k}{3} =&\,9\left(-\frac53\right)\\ =&\,-15. \end{align*}

Therefore,

k=45.\boxed{k=45}.

(c)

解法一

思路

展开

先按二项式定理展开 (α+β)3(\alpha+\beta)^3，再把两个混合项提取公因子 3αβ3\alpha\beta 并移项，便会自然得到题目要求的恒等式。

答题过程

展开

Expanding,

(α+β)3=α3+3α2β+3αβ2+β3.(\alpha+\beta)^3 =\alpha^3+3\alpha^2\beta +3\alpha\beta^2+\beta^3.

Therefore,

α3+β3= (α+β)3−3α2β−3αβ2= (α+β)3−3αβ(α+β),\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,(\alpha+\beta)^3 -3\alpha^2\beta-3\alpha\beta^2\\ =&\,(\alpha+\beta)^3 -3\alpha\beta(\alpha+\beta), \end{align*}

as required.

(d)

解法一

思路

展开

设所求方程的两根为 u=α2+βu=\alpha^2+\beta、v=α+β2v=\alpha+\beta^2。不求出 α,β\alpha,\beta，而是把 u+vu+v 与 uvuv 全部改写成已知的 α+β=−15\alpha+\beta=-15 和 αβ=−53\alpha\beta=-\frac53；其中积的计算承接 (c) 的立方和恒等式。最后用 x2−(u+v)x+uv=0x^2-(u+v)x+uv=0 建立方程并清除分母。

答题过程

展开

From parts (a) and (b),

α+β=−15,αβ=−53.\alpha+\beta=-15, \qquad \alpha\beta=-\frac53.

Let

u=α2+β,v=α+β2.u=\alpha^2+\beta, \qquad v=\alpha+\beta^2.

The sum of the new roots is

u+v= α2+β2+α+β= (α+β)2−2αβ+α+β= (−15)2−2(−53)−15= 6403.\begin{align*} u+v =&\,\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta\\ =&\,(\alpha+\beta)^2 -2\alpha\beta+\alpha+\beta\\ =&\,(-15)^2 -2\left(-\frac53\right)-15\\ =&\,\frac{640}{3}. \end{align*}

Using the result from part (c), the product is

uv= (α2+β)(α+β2)= α3+β3+αβ+(αβ)2= (α+β)3−3αβ(α+β) +αβ+(αβ)2= (−15)3−3(−53)(−15) −53+(−53)2= −310409.\begin{align*} uv =&\,(\alpha^2+\beta)(\alpha+\beta^2)\\ =&\,\alpha^3+\beta^3 +\alpha\beta+(\alpha\beta)^2\\ =&\,(\alpha+\beta)^3 -3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &\,\hspace{2pt}+\alpha\beta+(\alpha\beta)^2\\ =&\,(-15)^3 -3\left(-\frac53\right)(-15)\\ &\,\hspace{2pt}-\frac53+\left(-\frac53\right)^2\\ =&\,-\frac{31040}{9}. \end{align*}

Hence the required equation is

x2−6403x−310409=0.x^2-\frac{640}{3}x-\frac{31040}{9}=0.

Multiplying by 99 gives the equation with integer coefficients:

9x2−1920x−31040=0.\boxed{9x^2-1920x-31040=0}.