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FP1 2025 May Q6

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2025 May Paper · Question 6

题目

Problem

f(x)=3x2+kx−5f(x)=3x^2+kx-5

where kk is a constant.

The equation f(x)=0f(x) = 0 has roots α\alpha and β\beta.

(a) State the value of αβ\alpha\beta.

(1)

Given that α+β=9αβ\alpha + \beta = 9\alpha\beta

(b) determine the value of kk.

(2)

(c) By first expanding (α+β)3(\alpha + \beta)^3 prove that

 α3+β3= (α+β)3 −3αβ(α+β)\begin{align*} &\,\alpha^3+\beta^3\\ =&\,(\alpha+\beta)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \end{align*}
(2)

Without solving the equation f(x)=0f(x) = 0

(d) find a quadratic equation with integer coefficients that has roots

α2+β\alpha^2+\beta

and

α+β2\alpha+\beta^2
(6)
题目中文翻译 f(x)=3x2+kx−5f(x)=3x^2+kx-5

其中 kk 是常数。

方程 f(x)=0f(x) = 0 有根 α\alpha 和 β\beta。

(a) 写出 αβ\alpha\beta 的值。

(1)

已知 α+β=9αβ\alpha + \beta = 9\alpha\beta

(b) 求 kk 的值。

(2)

(c) 先展开 (α+β)3(\alpha + \beta)^3，证明

 α3+β3= (α+β)3 −3αβ(α+β)\begin{align*} &\,\alpha^3+\beta^3\\ =&\,(\alpha+\beta)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\alpha\beta(\alpha+\beta) \end{align*}
(2)

不解方程 f(x)=0f(x) = 0

(d) 求一个具有整数系数的二次方程，使其根为

α2+β\alpha^2+\beta

和

α+β2\alpha+\beta^2
(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对二次方程使用根与系数关系：两根之积等于常数项除以二次项系数。

答题过程

展开

By the product of roots,

αβ=−53=−53.\boxed{\alpha\beta=\frac{-5}{3}=-\frac53}.

(b)

解法一

思路

展开

由根与系数关系写出 α+β=−k3\alpha+\beta=-\frac{k}{3}，再把 (a) 的 αβ\alpha\beta 代入已知关系，即可解出 kk。

答题过程

展开

By the sum and product of roots,

α+β= −k3,αβ= −53.\begin{align*} \alpha+\beta=&\,-\frac{k}{3},\\ \alpha\beta=&\,-\frac53. \end{align*}

Given that α+β=9αβ\alpha+\beta=9\alpha\beta,

−k3= 9(−53)= −15.\begin{align*} -\frac{k}{3} =&\,9\left(-\frac53\right)\\ =&\,-15. \end{align*}

Therefore,

k=45.\boxed{k=45}.

(c)

解法一

思路

展开

先按二项式定理展开 (α+β)3(\alpha+\beta)^3，再把两个混合项提取公因子 3αβ3\alpha\beta 并移项，便会自然得到题目要求的恒等式。

答题过程

展开

Expanding,

 (α+β)3= α3+3α2β +3αβ2+β3.\begin{align*} &\,(\alpha+\beta)^3\\ =&\,\alpha^3+3\alpha^2\beta\\ &\,\hspace{2pt}+3\alpha\beta^2+\beta^3. \end{align*}

Therefore,

 α3+β3= (α+β)3 −3α2β−3αβ2= (α+β)3 −3αβ(α+β),\begin{align*} &\,\alpha^3+\beta^3\\ =&\,(\alpha+\beta)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\alpha^2\beta-3\alpha\beta^2\\ =&\,(\alpha+\beta)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\alpha\beta(\alpha+\beta), \end{align*}

as required.

(d)

解法一

思路

展开

设所求方程的两根为 uu、vv，定义见下面的答题过程。不求出原来的两根，而是把新根之和与积改写成已知的原根和与原根积；其中积的计算承接 (c) 的立方和恒等式。最后用

x2−(u+v)x+uv=0x^2-(u+v)x+uv=0

建立方程并清除分母。

答题过程

展开

From parts (a) and (b),

α+β= −15,αβ= −53.\begin{align*} \alpha+\beta=&\,-15,\\ \alpha\beta=&\,-\frac53. \end{align*}

Let

u= α2+β,v= α+β2.\begin{align*} u=&\,\alpha^2+\beta,\\ v=&\,\alpha+\beta^2. \end{align*}

The sum of the new roots is

 u+v= α2+β2+α+β= (α+β)2 −2αβ+α+β= (−15)2 −2(−53)−15= 225+103−15= 210+103= 630+103= 6403.\begin{align*} &\,u+v\\ =&\,\alpha^2+\beta^2+\alpha+\beta\\ =&\,(\alpha+\beta)^2\\ &\,\hspace{2pt}-2\alpha\beta+\alpha+\beta\\ =&\,(-15)^2\\ &\,\hspace{2pt}-2\bigg(-\frac53\bigg)-15\\ =&\,225+\frac{10}3-15\\ =&\,210+\frac{10}3\\ =&\,\frac{630+10}3\\ =&\,\frac{640}{3}. \end{align*}

Using the result from part (c), the product is

 uv= (α2+β) ×(α+β2)= α3+β3 +αβ+(αβ)2= (α+β)3 −3αβ(α+β) +αβ+(αβ)2= (−15)3 −3(−53)(−15) −53+(−53)2= −3375−75 −53+259= −3450−159+259= −3450+109= −31050+109= −310409.\begin{align*} &\,uv\\ =&\,(\alpha^2+\beta)\\ &\,\hspace{2pt}\times(\alpha+\beta^2)\\ =&\,\alpha^3+\beta^3\\ &\,\hspace{2pt}+\alpha\beta+(\alpha\beta)^2\\ =&\,(\alpha+\beta)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\ &\,\hspace{4pt}+\alpha\beta+(\alpha\beta)^2\\ =&\,(-15)^3\\ &\,\hspace{2pt}-3\bigg(-\frac53\bigg)(-15)\\ &\,\hspace{4pt}-\frac53+\bigg(-\frac53\bigg)^2\\ =&\,-3375-75\\ &\,\hspace{2pt}-\frac53+\frac{25}9\\ =&\,-3450-\frac{15}9+\frac{25}9\\ =&\,-3450+\frac{10}9\\ =&\,\frac{-31050+10}9\\ =&\,-\frac{31040}{9}. \end{align*}

Hence the required equation is

x2−6403x−310409=0.x^2-\frac{640}{3}x-\frac{31040}{9}=0.

Multiplying by 99 gives the equation with integer coefficients:

9x2−1920x−31040=0.9x^2-1920x-31040=0.