其中 $P$ 和 $Q$ 是实常数。

已知 $3 + 5\mathrm{i}$ 是方程 $f(z) = 0$ 的一个根

(a) 写出方程 $f(z) = 0$ 的另一个根。

(b) 由此确定 $f(z)$ 的一个二次因式，具有实系数。

(c) 确定 $P$ 和 $Q$ 的值。

不使用计算器，

(d) 确定方程 $f(z) = 0$ 的其他根，将答案写成最简形式。

实系数多项式的非实复根必成共轭对。因此已知根 $3+5\mathrm{i}$ 后，可以直接写出另一个根。

Since $f$ has real coefficients, non-real roots occur in conjugate pairs. Therefore, another root is

把一对共轭根写成对应的一次因式并相乘，虚部会相消，得到所需的实系数二次因式。

The two conjugate roots give the factor

由 (b) 的二次因式，把四次多项式写成两个实系数二次式的乘积。先比较常数项、一次项和三次项求出另一因式的系数与 $P$，再比较二次项求 $Q$。

Write

Expanding,

Comparing constant terms gives

Comparing coefficients of $z$,

Comparing coefficients of $z^3$,

Hence $P=a=7$. Finally, comparing coefficients of $z^2$,

Therefore,

也可以把已知复根直接代入 $f(z)=0$。算出复数的各次幂后，分别令实部和虚部为零，便得到关于 $P,Q$ 的两个实系数一次方程。

Let $z=3+5\mathrm{i}$. Then

and

Since $f(3+5\mathrm{i})=0$,

Equating real and imaginary parts gives

The second equation simplifies to

Substituting into the first equation,

Hence

Therefore,

用 (b) 的二次因式作除式，逐次消去四次项、三次项和二次项。因为该二次式是因式，最后的一次余式必须恒等于零；比较余式的两个系数，便能求出 $P,Q$。以下用 $h,j$ 暂记商的两个系数，避免反复书写长式。

Let

From part (b), $D(z)$ is a factor of $f(z)$, so division by $D(z)$ must leave zero remainder.

The first term of the quotient is $Pz^2$. Multiplying,

Subtracting this from $f(z)$ gives

Put $h=6P-36$. The next term of the quotient is $hz$, and

Subtracting again,

Here the coefficients simplify as

and

Put $j=Q+2P-216$. The last term of the quotient is $j$, and

The quotient is therefore $Pz^2+hz+j$, and the remainder is

Substituting for $j$ in its two coefficients,

and

Thus

Since this is the zero polynomial, both coefficients are zero:

Dividing the first equation by $6$ and the second by $-34$ gives

Adding these equations,

Then $2(7)+Q=218$, so $Q=204$. Hence

由 (c) 已知另一个二次因式是 $7z^2+6z+2$。题目要求不使用计算器，因此用求根公式并手工化简负判别式，得到剩余的一对共轭复根。

From part (c),

The other roots satisfy

Using the quadratic formula,

The two remaining roots are

and