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IAL 2025 May FP1 Q7

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2025 May Paper · Question 7

Question

Problem

f(z)=Pz4−36z3+Qz2+192z+68f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68

where PP and QQ are real constants.

Given that 3+5i3 + 5i is a root of the equation f(z)=0f(z) = 0

(a) write down another root of the equation f(z)=0f(z) = 0.

(1)

(b) Hence determine a quadratic factor, with real coefficients, of f(z)f(z).

(2)

(c) Determine the value of PP and the value of QQ.

(5)

Without using a calculator,

(d) determine the other roots of the equation f(z)=0f(z) = 0 giving your answers in simplest form.

(2)

中文翻译

f(z)=Pz4−36z3+Qz2+192z+68f(z) = Pz^4 - 36z^3 + Qz^2 + 192z + 68

其中 PP 和 QQ 是实常数。

已知 3+5i3 + 5i 是方程 f(z)=0f(z) = 0 的一个根

(a) 写出方程 f(z)=0f(z) = 0 的另一个根。

(1)

(b) 由此确定 f(z)f(z) 的一个二次因式，具有实系数。

(2)

(c) 确定 PP 和 QQ 的值。

(5)

不使用计算器，

(d) 确定方程 f(z)=0f(z) = 0 的其他根，将答案写成最简形式。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

实系数多项式的非实复根必成共轭对。因此已知根 3+5i3+5i 后，可以直接写出另一个根。

答题过程

展开

Since ff has real coefficients, non-real roots occur in conjugate pairs. Therefore, another root is

3−5i.\boxed{3-5i}.

(b)

解法一

思路

展开

把一对共轭根写成对应的一次因式并相乘，虚部会相消，得到所需的实系数二次因式。

答题过程

展开

The two conjugate roots give the factor

(z−(3+5i))(z−(3−5i))= ((z−3)−5i)((z−3)+5i)= (z−3)2+25= z2−6z+34.\begin{align*} \bigl(z-(3+5i)\bigr)\bigl(z-(3-5i)\bigr) =&\,\bigl((z-3)-5i\bigr)\bigl((z-3)+5i\bigr)\\ =&\,(z-3)^2+25\\ =&\,\boxed{z^2-6z+34}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

由 (b) 的二次因式，把四次多项式写成两个实系数二次式的乘积。先比较常数项、一次项和三次项求出另一因式的系数与 PP，再比较二次项求 QQ。

答题过程

展开

Write

f(z)=(z2−6z+34)(az2+bz+c).f(z)=(z^2-6z+34)(az^2+bz+c).

Expanding,

f(z)= az4+(b−6a)z3+(c−6b+34a)z2 +(34b−6c)z+34c.\begin{align*} f(z)=&\,az^4+(b-6a)z^3 +(c-6b+34a)z^2\\ &\,+(34b-6c)z+34c. \end{align*}

Comparing constant terms gives

34c=68  ⟹  c=2.34c=68\implies c=2.

Comparing coefficients of zz and z3z^3,

34b−6c= 192  ⟹  34b−12= 192  ⟹  b= 6,b−6a= −36  ⟹  6−6a= −36  ⟹  a= 7.\begin{align*} 34b-6c=&\,192 &\implies 34b-12=&\,192 &\implies b=&\,6,\\ b-6a=&\,-36 &\implies 6-6a=&\,-36 &\implies a=&\,7. \end{align*}

Hence P=a=7P=a=7. Finally, comparing coefficients of z2z^2,

Q= c−6b+34a= 2−36+238= 204.\begin{align*} Q =&\,c-6b+34a\\ =&\,2-36+238\\ =&\,204. \end{align*}

Therefore,

P=7,Q=204.\boxed{P=7,\quad Q=204}.

解法二

思路

展开

官方评分资料也接受把已知复根直接代入 f(z)=0f(z)=0。算出 (3+5i)2(3+5i)^2 与 (3+5i)4(3+5i)^4 后，分别令实部和虚部为零，便得到关于 P,QP,Q 的两个实系数一次方程。

答题过程

展开

Let z=3+5iz=3+5i. Then

z2=−16+30i,z3=−198+10i,z4=−644−960i.z^2=-16+30i, \qquad z^3=-198+10i, \qquad z^4=-644-960i.

Since f(3+5i)=0f(3+5i)=0,

P(−644−960i)−36(−198+10i)+Q(−16+30i)+192(3+5i)+68=0.P(-644-960i)-36(-198+10i) +Q(-16+30i)+192(3+5i)+68=0.

Equating real and imaginary parts gives

−644P−16Q+7772= 0,−960P+30Q+600= 0.\begin{align*} -644P-16Q+7772=&\,0,\\ -960P+30Q+600=&\,0. \end{align*}

The second equation simplifies to

Q=32P−20.Q=32P-20.

Substituting into the first equation,

−644P−16(32P−20)+7772= 0−1156P+8092= 0,\begin{align*} -644P-16(32P-20)+7772=&\,0\\ -1156P+8092=&\,0, \end{align*}

so P=7P=7 and hence Q=204Q=204. Therefore,

P=7,Q=204.\boxed{P=7,\quad Q=204}.

(d)

解法一

思路

展开

由 (c) 已知另一个二次因式是 7z2+6z+27z^2+6z+2。题目要求不使用计算器，因此用求根公式并手工化简负判别式，得到剩余的一对共轭复根。

答题过程

展开

From part (c),

f(z)=(z2−6z+34)(7z2+6z+2).f(z)=(z^2-6z+34)(7z^2+6z+2).

The other roots satisfy

7z2+6z+2=0.7z^2+6z+2=0.

Using the quadratic formula,

z= −6±62−4(7)(2)14= −6±−2014= −6±2i514= −3±i57.\begin{align*} z =&\,\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4(7)(2)}}{14}\\ =&\,\frac{-6\pm\sqrt{-20}}{14}\\ =&\,\frac{-6\pm2i\sqrt5}{14}\\ =&\,\boxed{\frac{-3\pm i\sqrt5}{7}}. \end{align*}