(a) 使用求和标准公式证明

$\sum_{r=1}^{2n} (2r^2-1) = \frac{4}{3}n(n+1)(an+b)$

其中 $a$ 和 $b$ 是待确定的整数。

(5)

(b) 用数学归纳法证明，对于 $n \in \mathbb{N}$

$\sum_{r=1}^{n} r(3r-2)^2 = \frac{n^2(n+1)(9n-7)}{4}$

(5)

使用 (a) 和 (b) 的结果，展示所有运算过程，

(c) 确定满足下式的 $n$ 值

$8\sum_{r=1}^{n} r(3r-2)^2 = 15\sum_{r=1}^{2n} (2r^2-1)$

(完全依赖计算器技术的解答不可接受。)

(3)

把原和式拆成平方和与常数和，再把平方和公式中的项数取为 $2n$。整理并因式分解后，与题目给出的形式比较，即可确定 $a$、$b$。

Using the standard result

we have

Comparing this with

gives

严格按归纳法完成三步：先验证 $n=1$；再假设命题在 $n=k$ 时成立，并加上第 $k+1$ 项；最后把结果完全改写成题中公式把 $n$ 换成 $k+1$ 后的形式，再写归纳结论。

Let

For $n=1$,

and

Hence the result is true for $n=1$.

Assume that the result is true for $n=k$, so that

Then

Therefore, if the result is true for $n=k$, it is also true for $n=k+1$. Since it is true for $n=1$, by mathematical induction,

for all $n\in\mathbb N$.

把 (a)、(b) 的结果直接代入给定等式。约去非零因子 $n(n+1)$ 后会得到二次方程；因式分解后，还要根据 $n$ 是正整数舍去非整数根。

Using the results from parts (a) and (b),

Since $n\in\mathbb N$, we may divide by $n(n+1)$:

Thus $n=\frac29$ or $n=5$. Since $n$ must be a positive integer,