Question

Problem

Figure 1 shows a sketch of a parabola $C$ .

The point $P$ lies on $C$ at a distance 5 units from the focus of $C$ .

The points $Q$ and $R$ lie on the directrix of $C$ , where $PQ = PR = 10$ units.

Determine the exact length of $QR$ giving the answer in simplest form.

(4)

中文翻译

图 1 显示了抛物线 $C$ 的示意图。

点 $P$ 在 $C$ 上，与 $C$ 的焦点距离为 5 个单位。

点 $Q$ 和 $R$ 在 $C$ 的准线上，其中 $PQ = PR = 10$ 个单位。

确定 $QR$ 的精确长度，将答案写成最简形式。

(4)

解答

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作 $PM$ 垂直于准线，垂足为 $M$ 。由抛物线定义，点 $P$ 到焦点和到准线的距离相等，所以 $PM=5$ 。又因为 $PQ=PR$ ，垂线 $PM$ 平分准线上的弦 $QR$ ，于是用直角三角形 $PMQ$ 求出半弦 $QM$ 。

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Let $M$ be the foot of the perpendicular from $P$ to the directrix.

By the definition of a parabola, the distance from $P$ to the directrix equals the distance from $P$ to the focus. Hence,

PM=5.

Since $PQ=PR$ and $PM$ is perpendicular to the directrix, $M$ is the midpoint of $QR$ . In the right-angled triangle $PMQ$ ,

\begin{align*} QM =&\,\sqrt{PQ^2-PM^2}\\ =&\,\sqrt{10^2-5^2}\\ =&\,5\sqrt3. \end{align*}

Therefore,

\boxed{QR=2QM=10\sqrt3}.

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也可以先在直角三角形中求顶角。由于 $PM=5$ 、 $PQ=10$ ，得到 $\angle QPM=60^\circ$ ；上下对称给出 $\angle QPR=120^\circ$ ，再对三角形 $PQR$ 使用余弦定理。

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In the right-angled triangle $PMQ$ ,

\cos\angle QPM=\frac{PM}{PQ}=\frac5{10}=\frac12.

Thus $\angle QPM=60^\circ$ . By symmetry, $\angle MPR=60^\circ$ , so

\angle QPR=120^\circ.

Applying the cosine rule to triangle $PQR$ ,

\begin{align*} QR^2 =&\,10^2+10^2 -2(10)(10)\cos120^\circ\\ =&\,200-200\left(-\frac12\right)\\ =&\,300. \end{align*}

Since $QR>0$ ,

\boxed{QR=10\sqrt3}.