Question

Problem

Use the standard results for $\sum r$ and for $\sum r^2$ to show that, for all positive integers $n$ ,

$\sum_{r=1}^{n} r(r+3) = \frac{n}{a}(n+1)(n+b)$

where $a$ and $b$ are integers to be found.

(4)

中文翻译

使用 $\sum r$ 和 $\sum r^2$ 的标准公式证明，对于所有正整数 $n$

$\sum_{r=1}^{n} r(r+3) = \frac{n}{a}(n+1)(n+b)$

其中 $a$ 和 $b$ 是待求的整数。

(4)

解答

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先展开被求和项，把原式拆成 $\sum r^2+3\sum r$ 。代入两个标准求和公式后提取公因式 $n(n+1)$ ，再与题目指定的形式比较，确定整数 $a$ 、 $b$ 。

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Using the standard results for $\sum r$ and $\sum r^2$ ,

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}r(r+3) =&\,\sum_{r=1}^{n}r^2+3\sum_{r=1}^{n}r\\ =&\,\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} +\frac{3n(n+1)}{2}\\ =&\,\frac{n(n+1)}{6}\big[(2n+1)+9\big]\\ =&\,\frac{n(n+1)}{6}(2n+10)\\ =&\,\frac{n}{3}(n+1)(n+5). \end{align*}

Comparing this with

\frac{n}{a}(n+1)(n+b),

we obtain

\boxed{a=3,\qquad b=5}.