在本题中必须展示所有运算过程。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

$f(z) = z^4 - 6z^3 + 38z^2 - 94z + 221$

(a) 已知 $z = 2 + 3i$ 是方程 $f(z) = 0$ 的一个根，用代数方法求 $f(z) = 0$ 的另外三个根。

(7)

(b) 在同一幅 Argand 图上画出 $f(z) = 0$ 的四个根。

(2)

多项式系数全为实数，所以非实根成共轭对出现。先由已知根得到另一个根 $2-3i$，将对应的两个一次因式相乘，再用所得二次因式除原多项式。最后用配方法求第二个二次因式的根。

Since $f(z)$ has real coefficients and $2+3i$ is a root, $2-3i$ is also a root.

The corresponding quadratic factor is

Dividing $f(z)$ by $z^2-4z+13$ gives

For completeness, expanding the right-hand side gives

as required. The remaining roots satisfy

Hence $z=1\pm4i$. The other three roots are therefore

在 Argand 图上，复数 $a+bi$ 对应点 $(a,b)$。因此把四个根的实部作为横坐标、虚部作为纵坐标，并利用共轭根关于实轴对称的性质标点即可。

On an Argand diagram, plot and label the points

Thus $2\pm3i$ lie on the vertical line $\operatorname{Re}(z)=2$, and $1\pm4i$ lie on the vertical line $\operatorname{Re}(z)=1$. Each conjugate pair is symmetric about the real axis.