题目

Problem

In this question you must show all stages of your working.

Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The rectangular hyperbola $H$ has parametric equations

\begin{align*} x=&\,4t,\\ y=&\,\frac4t \end{align*}

The straight line with equation $3y - 2x = 10$ intersects $H$ at the points $A$ and $B$ .

Given that the point $A$ is above the $x$ -axis,

(a) find the coordinates of the point $A$ and the coordinates of the point $B$ .

(5)

(b) Find the coordinates of the midpoint of $AB$ .

(2)

题目中文翻译

在本题中必须展示所有运算过程。

依赖计算器技术的解答不可接受。

等轴双曲线 $H$ 的参数方程为

\begin{align*} x=&\,4t,\\ y=&\,\frac4t \end{align*}

直线 $3y - 2x = 10$ 与 $H$ 相交于点 $A$ 和 $B$ 。

已知点 $A$ 在 $x$ 轴上方，

(a) 求点 $A$ 和点 $B$ 的坐标。

(5)

(b) 求 $AB$ 中点的坐标。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把双曲线的参数方程代入直线方程，得到关于参数 $t$ 的二次方程。求出两个 $t$ 值后分别代回参数方程，并根据纵坐标的正负判断哪一点是 $A$ 。

答题过程

展开

Substituting $x=4t$ and $y=\dfrac4t$ into $3y-2x=10$ gives

3\bigg(\frac4t\bigg)-2(4t)=10.

Multiplying by $t$ and rearranging,

\begin{align*} 12-8t^2=&\,10t\\ 8t^2+10t-12=&\,0\\ 2(4t-3)(t+2)=&\,0. \end{align*}

Therefore,

t=\frac34\quad\text{or}\quad t=-2.

When $t=\dfrac34$ ,

\begin{align*} x=&\,4\bigg(\frac34\bigg)=3,\\ y=&\,\frac4{3/4}=\frac{16}{3}. \end{align*}

Hence,

(x,y)=\bigg(3,\frac{16}{3}\bigg).

When $t=-2$ ,

\begin{align*} x=&\,4(-2)=-8,\\ y=&\,\frac4{-2}=-2. \end{align*}

Hence,

(x,y)=(-8,-2).

Since $A$ is above the $x$ -axis,

\begin{align*} &\,\boxed{A\bigg(3,\frac{16}{3}\bigg)},\\ &\,\boxed{B(-8,-2)}. \end{align*}

解法二

思路

展开

由参数方程直接得到双曲线的直角坐标方程 $xy=16$ 。把直线方程改写为 $y$ 关于 $x$ 的式子并代入，即可直接求交点的横坐标。

答题过程

展开

The parametric equations give

xy=(4t)\bigg(\frac4t\bigg)=16.

Also, the straight line can be written as

y=\frac{10+2x}{3}.

Substituting this into $xy=16$ ,

x\bigg(\frac{10+2x}{3}\bigg)=16.

Hence,

\begin{align*} x^2+5x-24=&\,0\\ (x+8)(x-3)=&\,0. \end{align*}

Thus $x=3$ or $x=-8$ . When $x=3$ ,

\begin{align*} y=&\,\frac{10+2(3)}{3}\\ =&\,\frac{16}{3}. \end{align*}

When $x=-8$ ,

\begin{align*} y=&\,\frac{10+2(-8)}{3}\\ =&\,\frac{-6}{3}=-2. \end{align*}

Since $A$ is above the $x$ -axis,

\begin{align*} &\,\boxed{A\bigg(3,\frac{16}{3}\bigg)},\\ &\,\boxed{B(-8,-2)}. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

中点的横、纵坐标分别是两个端点相应坐标的平均数，代入 (a) 中的 $A$ 、 $B$ 坐标并化简即可。

答题过程

展开

Let the midpoint of $AB$ be $M(x_M,y_M)$ . Its coordinates are

\begin{align*} x_M=&\,\frac{3+(-8)}{2}\\ =&\,-\frac52, \end{align*}

and

\begin{align*} y_M=&\,\frac{\frac{16}{3}+(-2)}{2}\\ =&\,\frac{\frac{10}{3}}{2}\\ =&\,\frac53. \end{align*}

Therefore, the midpoint is

\boxed{\bigg(-\frac52,\frac53\bigg)}.

FP1 2026 Jan A Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程