CalcGospel 國際數學圖譜
返回

IAL 2026 Jan A FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2026 Jan A Paper · Question 3

Question

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying on calculator technology are not acceptable.

The rectangular hyperbola HH has parametric equations

x=4t,y=4tx = 4t, \quad y = \frac{4}{t}

The straight line with equation 3y−2x=103y - 2x = 10 intersects HH at the points AA and BB.

Given that the point AA is above the xx-axis,

(a) find the coordinates of the point AA and the coordinates of the point BB.

(5)

(b) Find the coordinates of the midpoint of ABAB.

(2)

中文翻译

在本题中必须展示所有运算过程。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

等轴双曲线 HH 的参数方程为

x=4t,y=4tx = 4t, \quad y = \frac{4}{t}

直线 3y−2x=103y - 2x = 10 与 HH 相交于点 AA 和 BB。

已知点 AA 在 xx 轴上方，

(a) 求点 AA 和点 BB 的坐标。

(5)

(b) 求 ABAB 中点的坐标。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把双曲线的参数方程代入直线方程，得到关于参数 tt 的二次方程。求出两个 tt 值后分别代回参数方程，并根据纵坐标的正负判断哪一点是 AA。

答题过程

展开

Substituting x=4tx=4t and y=4ty=\dfrac4t into 3y−2x=103y-2x=10 gives

3(4t)−2(4t)=10.3\left(\frac4t\right)-2(4t)=10.

Multiplying by tt and rearranging,

12−8t2= 10t8t2+10t−12= 02(4t−3)(t+2)= 0.\begin{align*} 12-8t^2=&\,10t\\ 8t^2+10t-12=&\,0\\ 2(4t-3)(t+2)=&\,0. \end{align*}

Therefore,

t=34ort=−2.t=\frac34\quad\text{or}\quad t=-2.

When t=34t=\dfrac34,

(x,y)=(3,163).(x,y)=\left(3,\frac{16}{3}\right).

When t=−2t=-2,

(x,y)=(−8,−2).(x,y)=(-8,-2).

Since AA is above the xx-axis,

A(3,163),B(−8,−2).\boxed{A\left(3,\frac{16}{3}\right),\qquad B(-8,-2)}.

解法二

思路

展开

由参数方程直接得到双曲线的直角坐标方程 xy=16xy=16。把直线方程改写为 yy 关于 xx 的式子并代入，即可直接求交点的横坐标。

答题过程

展开

The parametric equations give

xy=(4t)(4t)=16.xy=(4t)\left(\frac4t\right)=16.

Also, the straight line can be written as

y=10+2x3.y=\frac{10+2x}{3}.

Substituting this into xy=16xy=16,

x(10+2x3)=16.x\left(\frac{10+2x}{3}\right)=16.

Hence,

x2+5x−24= 0(x+8)(x−3)= 0.\begin{align*} x^2+5x-24=&\,0\\ (x+8)(x-3)=&\,0. \end{align*}

Thus x=3x=3 or x=−8x=-8. Using y=10+2x3y=\dfrac{10+2x}{3} gives the corresponding values y=163y=\dfrac{16}{3} and y=−2y=-2. Therefore,

A(3,163),B(−8,−2).\boxed{A\left(3,\frac{16}{3}\right),\qquad B(-8,-2)}.

(b)

解法一

思路

展开

中点的横、纵坐标分别是两个端点相应坐标的平均数，代入 (a) 中的 AA、BB 坐标并化简即可。

答题过程

展开

The midpoint of ABAB is

(3+(−8)2,163+(−2)2)= (−52,1032)= (−52,53).\begin{align*} \left(\frac{3+(-8)}{2},\frac{\frac{16}{3}+(-2)}{2}\right) =&\,\left(-\frac52,\frac{\frac{10}{3}}{2}\right)\\ =&\,\boxed{\left(-\frac52,\frac53\right)}. \end{align*}