在本题中必须展示所有运算过程。

依赖计算器技术的解答不可接受。

已知 $z = x + \mathrm{i}y$，其中 $x$ 和 $y$ 是实数，解方程

其中 $z^*$ 是 $z$ 的共轭复数。

先写出 $z^*=x-\mathrm{i}y$，再把左边展开。比较等式两边的实部和虚部，可以分别得到关于 $x$、$y$ 的方程。

Since $z=x+\mathrm{i}y$, its complex conjugate is

Therefore,

Comparing real and imaginary parts with $21-12\mathrm{i}$ gives

and

Hence $x=3$, and so

Thus $y^2=16$, giving $y=\pm4$. Therefore,

先利用 $zz^*=|z|^2$ 和 $z+z^*=2x$ 化简乘积，再比较实部与虚部。这种写法可以避免逐项展开两个括号。

Expanding in terms of $z$ and $z^*$,

Hence, by comparing real and imaginary parts,

It follows that $x=3$ and

Therefore,

把乘积先写成含 $zz^*$ 和 $z+z^*$ 的形式。两者都是实数，比较实部、虚部后可求出这两个共轭数的积与和，再建立以它们为根的二次方程。

Expanding the given equation gives

Both $zz^*$ and $z+z^*$ are real. Comparing real and imaginary parts,

Thus $zz^*=25$ and $z+z^*=6$. The numbers $z$ and $z^*$ have sum 6 and product 25, so each satisfies

In particular,

Hence,

giving $\boxed{x=3}$ and $\boxed{y=\pm4}$.