IAL 2026 Jan A FP1 Q5 | 國際數學站

Question

[!problem]

The quadratic equation

$x^2 - 2x + 3 = 0$

has roots $\alpha$ and $\beta$ .

Without solving the equation,

(a) (i) write down the value of $(\alpha + \beta)$ and the value of $\alpha\beta$ .

(ii) show that $\alpha^2 + \beta^2 = -2$ .

(iii) find the value of $\alpha^4 + \beta^4$ .

(5)

(b) (i) show that $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ .

(ii) find a quadratic equation which has roots

$(\alpha^3 - \beta^3) \text{ and } (\beta^3 - \alpha^3)$

giving your answer in the form $px^2 + qx + r = 0$ where $p$ , $q$ and $r$ are integers.

(6)

中文翻译

二次方程

$x^2 - 2x + 3 = 0$

有根 $\alpha$ 和 $\beta$ 。

不解方程，

(a) (i) 写出 $(\alpha + \beta)$ 的值和 $\alpha\beta$ 的值。

(ii) 证明 $\alpha^2 + \beta^2 = -2$ 。

(iii) 求 $\alpha^4 + \beta^4$ 的值。

(5)

(b) (i) 证明 $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$ 。

(ii) 求一个二次方程，使其根为

$(\alpha^3 - \beta^3) \text{ 和 } (\beta^3 - \alpha^3)$

将答案写成 $px^2 + qx + r = 0$ 的形式，其中 $p$ 、 $q$ 和 $r$ 是整数。

(6)