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IAL 2026 Jan A FP1 Q5

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2026 Jan A Paper · Question 5

Question

Problem

The quadratic equation

x2−2x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0

has roots α\alpha and β\beta.

Without solving the equation,

(a) (i) write down the value of (α+β)(\alpha + \beta) and the value of αβ\alpha\beta.

(ii) show that α2+β2=−2\alpha^2 + \beta^2 = -2.

(iii) find the value of α3+β3\alpha^3 + \beta^3.

(5)

(b) (i) show that α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2.

(ii) find a quadratic equation which has roots

(α3−β) and (β3−α)(\alpha^3 - \beta) \text{ and } (\beta^3 - \alpha)

giving your answer in the form px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 where pp, qq and rr are integers.

(6)

中文翻译

二次方程

x2−2x+3=0x^2 - 2x + 3 = 0

有根 α\alpha 和 β\beta。

不解方程，

(a) (i) 写出 (α+β)(\alpha + \beta) 的值和 αβ\alpha\beta 的值。

(ii) 证明 α2+β2=−2\alpha^2 + \beta^2 = -2。

(iii) 求 α3+β3\alpha^3 + \beta^3 的值。

(5)

(b) (i) 证明 α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2\alpha^4 + \beta^4 = (\alpha^2 + \beta^2)^2 - 2(\alpha\beta)^2。

(ii) 求一个二次方程，使其根为

(α3−β) 和 (β3−α)(\alpha^3 - \beta) \text{ 和 } (\beta^3 - \alpha)

将答案写成 px2+qx+r=0px^2 + qx + r = 0 的形式，其中 pp、qq 和 rr 是整数。

(6)

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

直接使用二次方程的根与系数关系。对于 x2−2x+3=0x^2-2x+3=0，两根之和是一次项系数的相反数，两根之积是常数项。

答题过程

展开

By the relationships between the roots and coefficients,

α+β=2\boxed{\alpha+\beta=2}

and

αβ=3.\boxed{\alpha\beta=3}.

(a)(ii)

解法一

思路

展开

使用恒等式 α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta，再代入 (i) 的结果。

答题过程

展开

Using part (i),

α2+β2= (α+β)2−2αβ= 22−2(3)= −2,\begin{align*} \alpha^2+\beta^2 =&\,(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\ =&\,2^2-2(3)\\ =&\,\boxed{-2}, \end{align*}

as required.

(a)(iii)

解法一

思路

展开

使用立方和恒等式，把 α3+β3\alpha^3+\beta^3 写成只含根的和与积的表达式，再代入 (i) 的结果。

答题过程

展开

We have

α3+β3=(α+β)3−3αβ(α+β).\alpha^3+\beta^3 =(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta).

Therefore,

α3+β3= 23−3(3)(2)= 8−18= −10.\begin{align*} \alpha^3+\beta^3 =&\,2^3-3(3)(2)\\ =&\,8-18\\ =&\,\boxed{-10}. \end{align*}

(b)(i)

解法一

思路

展开

从等式右边出发，展开 (α2+β2)2(\alpha^2+\beta^2)^2，再用 (αβ)2=α2β2(\alpha\beta)^2=\alpha^2\beta^2 消去交叉项，即可得到左边。

答题过程

展开

Starting with the right-hand side,

(α2+β2)2−2(αβ)2= α4+2α2β2+β4 −2α2β2= α4+β4.\begin{align*} (\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2 =&\,\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4\\ &\,-2\alpha^2\beta^2\\ =&\,\alpha^4+\beta^4. \end{align*}

Hence,

α4+β4=(α2+β2)2−2(αβ)2.\boxed{ \alpha^4+\beta^4 =(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2 }.

解法二

思路

展开

也可以从左边出发，同时加上和减去 2α2β22\alpha^2\beta^2。前三项组成完全平方，减去的项写成 2(αβ)22(\alpha\beta)^2。

答题过程

展开

Starting with the left-hand side,

α4+β4= α4+2α2β2+β4 −2α2β2= (α2+β2)2−2(αβ)2.\begin{align*} \alpha^4+\beta^4 =&\,\alpha^4+2\alpha^2\beta^2+\beta^4\\ &\,-2\alpha^2\beta^2\\ =&\,(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2. \end{align*}

This proves the required identity.

解法三

思路

展开

官方资料还接受从 (α+β)4(\alpha+\beta)^4 的完整展开出发。把含 α4+β4\alpha^4+\beta^4 的式子整理出来，并证明它与题目右边都等于同一个只含 α+β\alpha+\beta 和 αβ\alpha\beta 的表达式。

答题过程

展开

Expanding (α+β)4(\alpha+\beta)^4 gives

(α+β)4= α4+4α3β+6α2β2 +4αβ3+β4= α4+β4+4αβ(α2+β2) +6(αβ)2.\begin{align*} (\alpha+\beta)^4 =&\,\alpha^4+4\alpha^3\beta +6\alpha^2\beta^2\\ &\,+4\alpha\beta^3+\beta^4\\ =&\,\alpha^4+\beta^4 +4\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)\\ &\,+6(\alpha\beta)^2. \end{align*}

Therefore,

α4+β4= (α+β)4 −4αβ(α2+β2) −6(αβ)2.\begin{align*} \alpha^4+\beta^4 =&\,(\alpha+\beta)^4\\ &\,-4\alpha\beta(\alpha^2+\beta^2)\\ &\,-6(\alpha\beta)^2. \end{align*}

Using α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2+\beta^2=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta, this becomes

α4+β4= (α+β)4 −4αβ(α+β)2 +2(αβ)2.\begin{align*} \alpha^4+\beta^4 =&\,(\alpha+\beta)^4\\ &\,-4\alpha\beta(\alpha+\beta)^2\\ &\,+2(\alpha\beta)^2. \end{align*}

Also,

(α2+β2)2−2(αβ)2= ((α+β)2−2αβ)2 −2(αβ)2= (α+β)4 −4αβ(α+β)2 +2(αβ)2.\begin{align*} (\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2 =&\,\big((\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\big)^2\\ &\,-2(\alpha\beta)^2\\ =&\,(\alpha+\beta)^4\\ &\,-4\alpha\beta(\alpha+\beta)^2\\ &\,+2(\alpha\beta)^2. \end{align*}

The two expressions are equal, proving the result.

(b)(ii)

解法一

思路

展开

设所求方程的两根为 u=α3−βu=\alpha^3-\beta 和 v=β3−αv=\beta^3-\alpha。不求出 α,β\alpha,\beta，而是利用前面各问的结果计算 u+vu+v 与 uvuv，最后套用 x2−(u+v)x+uv=0x^2-(u+v)x+uv=0。

答题过程

展开

Let

u=α3−β,v=β3−α.u=\alpha^3-\beta, \qquad v=\beta^3-\alpha.

Using parts (a)(i) and (a)(iii),

u+v= α3+β3−(α+β)= −10−2= −12.\begin{align*} u+v =&\,\alpha^3+\beta^3-(\alpha+\beta)\\ =&\,-10-2\\ =&\,-12. \end{align*}

From part (b)(i),

α4+β4= (α2+β2)2−2(αβ)2= (−2)2−2(3)2= −14.\begin{align*} \alpha^4+\beta^4 =&\,(\alpha^2+\beta^2)^2-2(\alpha\beta)^2\\ =&\,(-2)^2-2(3)^2\\ =&\,-14. \end{align*}

Therefore,

uv= (α3−β)(β3−α)= (αβ)3−(α4+β4)+αβ= 33−(−14)+3= 44.\begin{align*} uv =&\,(\alpha^3-\beta)(\beta^3-\alpha)\\ =&\,(\alpha\beta)^3-(\alpha^4+\beta^4) +\alpha\beta\\ =&\,3^3-(-14)+3\\ =&\,44. \end{align*}

Hence the required quadratic equation is

x2−(u+v)x+uv= 0,x2+12x+44= 0.\begin{align*} x^2-(u+v)x+uv=&\,0,\\ x^2+12x+44=&\,0. \end{align*}

Therefore,

x2+12x+44=0.\boxed{x^2+12x+44=0}.