$f(x) = 30 + \dfrac{7}{\sqrt{x}}-x^5$，$x > 0$

方程 $f(x) = 0$ 的唯一实根 $\alpha$ 在区间 $[2, 2.1]$ 内。

(a) 从区间 $[2, 2.1]$ 开始，使用区间二分法两次，找到宽度为 0.025 且包含 $\alpha$ 的区间。

(4)

(b) 求 $f'(x)$。

(2)

(c) 取 2 作为 $\alpha$ 的初始近似值，对 $f(x)$ 应用一次牛顿-拉夫森过程求 $\alpha$ 的第二个近似值，答案精确到 2 位小数。

(2)

每次二分都计算当前区间中点的函数值，并与一个端点的函数值比较符号。连续二分两次后，区间宽度由 $0.1$ 变为 $0.05$，再变为 $0.025$。

At the endpoints of the initial interval,

The first midpoint is $2.05$, and

Since $f(2)>0$ and $f(2.05)<0$, the root lies in

The midpoint of this new interval is $2.025$, and

Since $f(2.025)>0$ and $f(2.05)<0$,

This interval has width $2.05-2.025=0.025$.

先把根式分母写成幂 $x^{-1/2}$，再逐项求导，注意负指数求导后的系数与指数符号。

Writing

we obtain

使用牛顿－拉夫森公式 $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，只迭代一次。题目指定 $x_0=2$，所以代入 (a)、(b) 已算出的函数值和导数值即可。

The Newton-Raphson formula is

Using $x_0=2$,

and

Therefore,

Hence the second approximation, to two decimal places, is