Question

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

The parabola $C$ has equation $y^2 = 4ax$ , where $a$ is a positive constant.

The point $P(ap^2, 2ap)$ lies on the parabola $C$ .

(a) Use calculus to show that an equation of the tangent to $C$ at $P$ is

$py = x + ap^2$

(4)

The tangent to $C$ at the point $P$ intersects the directrix of $C$ at the point $B$ and intersects the $x$ -axis at the point $D$ .

Given that the $y$ -coordinate of $B$ is $\dfrac{5a}{6}$ and $p > 0$

(b) find, in terms of $a$ , the $x$ -coordinate of $D$ .

(6)

Given that $O$ is the origin,

(2)

中文翻译

在本题中必须展示所有运算过程。完全依赖计算器技术的解答不可接受。

抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 4ax$ ，其中 $a$ 是正常数。

点 $P(ap^2, 2ap)$ 在抛物线 $C$ 上。

(a) 用微积分方法证明 $C$ 在 $P$ 处的切线方程为

$py = x + ap^2$

(4)

$C$ 在点 $P$ 处的切线与 $C$ 的准线相交于点 $B$ ，与 $x$ 轴相交于点 $D$ 。

已知 $B$ 的 $y$ 坐标为 $\dfrac{5a}{6}$ 且 $p > 0$

(b) 用 $a$ 表示，求 $D$ 的 $x$ 坐标。

(6)

已知 $O$ 为原点，

(c) 用 $a$ 表示，求三角形 $OPD$ 的面积，将答案写成最简形式。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对 $y^2=4ax$ 作隐函数求导，得到切线斜率。代入点 $P(ap^2,2ap)$ 后，斜率化为 $1/p$ ，再用点斜式整理至题目给出的方程。

答题过程

展开

Differentiating $y^2=4ax$ implicitly with respect to $x$ gives

2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=4a.

Therefore,

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{2a}{y}.

At $P(ap^2,2ap)$ , the gradient of the tangent is

\frac{2a}{2ap}=\frac1p.

Hence the tangent at $P$ has equation

y-2ap=\frac1p(x-ap^2).

Multiplying by $p$ and rearranging,

\begin{align*} py-2ap^2=&\,x-ap^2,\\ py=&\,x+ap^2, \end{align*}

as required.

\boxed{py=x+ap^2}.

(b)

解法一

思路

展开

抛物线 $y^2=4ax$ 的准线为 $x=-a$ ，所以 $B=(-a,\frac{5a}{6})$ 。把 $B$ 代入 (a) 的切线方程求 $p$ ，并用 $p>0$ 排除负根；再令 $y=0$ 求切线与 $x$ 轴的交点 $D$ 。

答题过程

展开

The directrix of $y^2=4ax$ is $x=-a$ . Therefore,

B=\bigg(-a,\frac{5a}{6}\bigg).

Substituting $B$ into the tangent equation from part (a),

p\bigg(\frac{5a}{6}\bigg) =-a+ap^2.

Since $a>0$ , division by $a$ and rearrangement give

6p^2-5p-6=0.

Factorising,

(3p+2)(2p-3)=0.

Thus

p=-\frac23 \quad\text{or}\quad p=\frac32.

Since $p>0$ ,

p=\frac32.

At $D$ , $y=0$ . Using $py=x+ap^2$ ,

\begin{align*} 0=&\,x+a\bigg(\frac32\bigg)^2,\\ x=&\,\boxed{-\frac{9a}{4}}. \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

承接 (b)， $OD$ 位于 $x$ 轴上，长度为 $\frac{9a}{4}$ 。点 $P$ 的纵坐标是 $2ap=3a$ ，即三角形对底边 $OD$ 的高，直接使用三角形面积公式。

答题过程

展开

When $p=\frac32$ , the $y$ -coordinate of $P$ is

2ap=2a\bigg(\frac32\bigg)=3a.

Also,

OD=\frac{9a}{4}.

Therefore,

\begin{align*} \operatorname{Area}(OPD) =&\,\frac12\bigg(\frac{9a}{4}\bigg)(3a)\\ =&\,\boxed{\frac{27a^2}{8}}. \end{align*}

IAL 2026 Jan A FP1 Q8

Question

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程