Question

Problem

$A = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(a) Show that $A$ is non-singular.

(2)

The triangle $R$ is transformed to the triangle $S$ by the matrix $A$ .

Given that the area of the triangle $R$ is 10 square units,

(b) find the area of triangle $S$ .

(2)

Given that $B = A^4$ and that the triangle $R$ is transformed to the triangle $T$ by the matrix $B$ ,

(2)

中文翻译

$A = \begin{pmatrix} 6 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$

(a) 证明 $A$ 是非奇异的。

(2)

三角形 $R$ 经矩阵 $A$ 变换为三角形 $S$ 。

已知三角形 $R$ 的面积为 10 平方单位，

(b) 求三角形 $S$ 的面积。

(2)

已知 $B = A^4$ 且三角形 $R$ 经矩阵 $B$ 变换为三角形 $T$ ，

(c) 不计算 $B$ ，求三角形 $T$ 的面积。

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

方阵非奇异当且仅当其行列式不为零，因此直接计算 $\det(A)$ 并说明结果非零。

答题过程

展开

The determinant of $A$ is

\begin{align*} \det(A) =&\,6(1)-4(1)\\ =&\,2. \end{align*}

Since $\det(A)\neq0$ , the matrix $A$ is non-singular.

(b)

解法一

思路

展开

二维线性变换把面积放大 $|\det(A)|$ 倍。把原三角形面积 $10$ 乘以该倍率即可。

答题过程

展开

The area scale factor is

|\det(A)|=2.

Therefore,

\operatorname{Area}(S) =2\times10 =\boxed{20\text{ square units}}.

(c)

解法一

思路

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利用 $\det(A^4)=(\det A)^4$ ，无需计算矩阵 $A^4$ 本身。所得行列式的绝对值就是从 $R$ 到 $T$ 的面积倍率。

答题过程

展开

Since $B=A^4$ ,

\begin{align*} \det(B) =&\,\det(A^4)\\ =&\,\big(\det A\big)^4\\ =&\,2^4\\ =&\,16. \end{align*}

Hence,

\operatorname{Area}(T) =16\times10 =\boxed{160\text{ square units}}.

IAL 2026 Jan A FP1 Q9

Question

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程