其中 $x>0$。

方程 $f(x) = 0$ 在区间 $[3, 3.8]$ 内有根 $\alpha$

(a) 从该区间的端点开始，使用区间二分法将 $\alpha$ 确定到 1 位小数。

(b) (i) 求 $f'(x)$。

(ii) 使用 (a) 的答案作为 $\alpha$ 的初始近似值，应用一次牛顿-拉夫森过程计算 $\alpha$ 的进一步近似值，答案精确到 4 位小数。

每次计算当前区间中点的函数值，并利用端点函数值异号缩小含根区间。为了确定到 1 位小数，最后还要检查舍入分界点 $3.15$，确认根位于其左侧。

At the initial endpoints,

and

The first midpoint is $3.4$:

The new interval is $[3,3.4]$. Its midpoint is $3.2$:

The new interval is $[3,3.2]$. Its midpoint is $3.1$:

The new interval is $[3.1,3.2]$. Its midpoint is $3.15$:

Thus the final interval is $[3.1,3.15]$.

Thus the root lies below the rounding boundary $3.15$, so to one decimal place,

把根式和倒数分别写成 $x^{1/2}$ 与 $x^{-1}$，再逐项使用幂函数求导法则。注意 $-x^{-1}$ 求导后变成正的 $x^{-2}$。

Writing

we obtain

使用 (a) 的近似值 $x_0=3.1$，代入 Newton–Raphson 公式 $x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$，只迭代一次并在最后保留 4 位小数。

Using $x_0=3.1$ from part (a),

and

Hence,

Therefore, the further approximation is

to 4 decimal places.