$f(z) = z^4 + \lambda z^3 + 14z^2 + 9\lambda z + 45$，其中 $\lambda\in\mathbb{R}$。

(a) 证明 $f(3i) = 0$。

(2)

(b) 由此确定 $\lambda$ 的精确取值范围，使得方程 $f(z) = 0$ 没有实数解。

(5)

直接把 $z=3\mathrm{i}$ 代入。利用 $\mathrm{i}^2=-1$、$\mathrm{i}^3=-\mathrm{i}$、$\mathrm{i}^4=1$ 化简，可以看到实数项与虚数项分别抵消。

Substituting $z=3\mathrm{i}$,

as required.

由于多项式系数为实数，(a) 的根 $3\mathrm{i}$ 会带来共轭根 $-3\mathrm{i}$，所以 $z^2+9$ 是因式。分解后只需令剩余二次因式没有实根，即判别式严格小于零；等号端点会产生重实根，因此不能包含。

Since $f$ has real coefficients and $3\mathrm{i}$ is a root, $-3\mathrm{i}$ is also a root. Hence,

is a factor of $f(z)$. Indeed,

since expansion gives the stated polynomial. The factor $z^2+9$ has no real roots, so $f(z)=0$ has no real solutions precisely when $z^2+\lambda z+5=0$ has no real roots. Thus,

Therefore,