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IAL 2026 Jan FP1 Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2026 Jan Paper · Question 3

Question

Problem

Given that AA and BB are non-singular matrices and BAB=IBAB = I, where II is the identity matrix,

(a) show that A=B−1B−1A = B^{-1}B^{-1}.

(1)

Given also that B=(3k−4−2k)B = \begin{pmatrix} 3 & k \\ -4 & -2k \end{pmatrix} where kk is a non-zero constant,

(b) determine AA in terms of kk.

(4)

中文翻译

已知 AA 和 BB 是非奇异矩阵且 BAB=IBAB = I，其中 II 是单位矩阵，

(a) 证明 A=B−1B−1A = B^{-1}B^{-1}。

(1)

进一步已知 B=(3k−4−2k)B = \begin{pmatrix} 3 & k \\ -4 & -2k \end{pmatrix}，其中 kk 是非零常数，

(b) 用 kk 表示求 AA。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

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矩阵乘法不可任意交换顺序。对 BAB=IBAB=I 左乘 B−1B^{-1}、右乘 B−1B^{-1}，相邻的 B−1BB^{-1}B 与 BB−1BB^{-1} 才能分别化为单位矩阵。

答题过程

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Starting with BAB=IBAB=I, multiply on the left and on the right by B−1B^{-1}:

B−1(BAB)B−1=B−1IB−1.B^{-1}(BAB)B^{-1}=B^{-1}IB^{-1}.

Therefore,

(B−1B)A(BB−1)= B−1B−1IAI= B−1B−1.\begin{align*} (B^{-1}B)A(BB^{-1})=&\,B^{-1}B^{-1}\\ IAI=&\,B^{-1}B^{-1}. \end{align*}

Hence,

A=B−1B−1,\boxed{A=B^{-1}B^{-1}},

as required.

(b)

解法一

思路

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承接 (a)，先用二阶矩阵公式求出 B−1B^{-1}，再计算 (B−1)2(B^{-1})^2。题目给出 k≠0k\ne0，因此行列式 −2k-2k 非零，逆矩阵存在。

答题过程

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First,

det⁡B= 3(−2k)−k(−4)= −2k.\begin{align*} \det B =&\,3(-2k)-k(-4)\\ =&\,-2k. \end{align*}

Since k≠0k\ne0,

B−1=−12k(−2k−k43).B^{-1} =-\frac1{2k} \begin{pmatrix} -2k&-k\\ 4&3 \end{pmatrix}.

Using part (a),

A= B−1B−1= 14k2(−2k−k43)(−2k−k43)= 14k2(4k2−4k2k2−3k−8k+12−4k+9).\begin{align*} A =&\,B^{-1}B^{-1}\\ =&\,\frac1{4k^2} \begin{pmatrix}-2k&-k\\4&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}-2k&-k\\4&3\end{pmatrix}\\ =&\,\boxed{ \frac1{4k^2} \begin{pmatrix} 4k^2-4k&2k^2-3k\\ -8k+12&-4k+9 \end{pmatrix}}. \end{align*}

解法二

思路

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由 (a) 可写成 A=(B2)−1A=(B^2)^{-1}。官方评分资料接受先计算 B2B^2，再对所得矩阵直接使用二阶矩阵求逆公式。

答题过程

展开

From part (a),

A=B−1B−1=(B2)−1.A=B^{-1}B^{-1}=(B^2)^{-1}.

Now

B2= (3k−4−2k)(3k−4−2k)= (9−4k3k−2k2−12+8k−4k+4k2).\begin{align*} B^2 =&\,\begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix}\\ =&\,\begin{pmatrix} 9-4k&3k-2k^2\\ -12+8k&-4k+4k^2 \end{pmatrix}. \end{align*}

Also,

det⁡(B2)=(det⁡B)2=4k2.\det(B^2)=(\det B)^2=4k^2.

Therefore,

A=14k2(4k2−4k2k2−3k12−8k9−4k).\boxed{ A=\frac1{4k^2} \begin{pmatrix} 4k^2-4k&2k^2-3k\\ 12-8k&9-4k \end{pmatrix}}.