CalcGospel 國際數學圖譜
返回

FP1 2026 Jan Q3

A Level / Edexcel / FP1

IAL 2026 Jan Paper · Question 3

题目

Problem

Given that AA and BB are non-singular matrices and BAB=IBAB = I, where II is the identity matrix,

(a) show that A=B−1B−1A = B^{-1}B^{-1}.

(1)

Given also that

B=(3k−4−2k)B=\begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix}

where kk is a non-zero constant,

(b) determine AA in terms of kk.

(4)
题目中文翻译

已知 AA 和 BB 是非奇异矩阵且 BAB=IBAB = I，其中 II 是单位矩阵，

(a) 证明 A=B−1B−1A = B^{-1}B^{-1}。

(1)

进一步已知

B=(3k−4−2k)B=\begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix}

其中 kk 是非零常数，

(b) 用 kk 表示求 AA。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

矩阵乘法不可任意交换顺序。对 BAB=IBAB=I 左乘 B−1B^{-1}、右乘 B−1B^{-1}，相邻的 B−1BB^{-1}B 与 BB−1BB^{-1} 才能分别化为单位矩阵。

答题过程

展开

Starting with BAB=IBAB=I, multiply on the left and on the right by B−1B^{-1}:

 B−1(BAB)B−1= B−1IB−1.\begin{align*} &\,B^{-1}(BAB)B^{-1}\\ =&\,B^{-1}IB^{-1}. \end{align*}

Therefore,

 (B−1B)A(BB−1)= B−1B−1IAI= B−1B−1.\begin{align*} &\,(B^{-1}B)A(BB^{-1})\\ =&\,B^{-1}B^{-1}\\ IAI=&\,B^{-1}B^{-1}. \end{align*}

Hence,

A=B−1B−1,\boxed{A=B^{-1}B^{-1}},

as required.

(b)

解法一

思路

展开

承接 (a)，先用二阶矩阵公式求出 B−1B^{-1}，再计算 (B−1)2(B^{-1})^2。题目给出 k≠0k\ne0，因此行列式 −2k-2k 非零，逆矩阵存在。

答题过程

展开

First,

det⁡B= 3(−2k)−k(−4)= −2k.\begin{align*} \det B =&\,3(-2k)-k(-4)\\ =&\,-2k. \end{align*}

Since k≠0k\ne0,

B−1=−12k(−2k−k43).B^{-1} =-\frac1{2k} \begin{pmatrix} -2k&-k\\ 4&3 \end{pmatrix}.

Let MM denote the matrix in the expression above. Using part (a),

 A= B−1B−1= 14k2(−2k−k43) ×(−2k−k43).\begin{align*} &\,A\\ =&\,B^{-1}B^{-1}\\ =&\,\frac1{4k^2} \begin{pmatrix}-2k&-k\\4&3\end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix}-2k&-k\\4&3\end{pmatrix}. \end{align*}

Thus A=14k2M2A=\dfrac1{4k^2}M^2.

The four entries of M2M^2 are

 (M2)11= (−2k)(−2k)+(−k)(4)= 4k2−4k, (M2)12= (−2k)(−k)+(−k)(3)= 2k2−3k, (M2)21= 4(−2k)+3(4)= −8k+12, (M2)22= 4(−k)+3(3)= −4k+9.\begin{align*} &\,(M^2)_{11}\\ =&\,(-2k)(-2k)+(-k)(4)\\ =&\,4k^2-4k,\\[4mm] &\,(M^2)_{12}\\ =&\,(-2k)(-k)+(-k)(3)\\ =&\,2k^2-3k,\\[4mm] &\,(M^2)_{21}\\ =&\,4(-2k)+3(4)\\ =&\,-8k+12,\\[4mm] &\,(M^2)_{22}\\ =&\,4(-k)+3(3)\\ =&\,-4k+9. \end{align*}

Dividing each entry by 4k24k^2 gives, for example,

A11= 4k2−4k4k2= 1−1k.\begin{align*} A_{11}=&\,\frac{4k^2-4k}{4k^2}\\ =&\,1-\frac1k. \end{align*}

Hence,

 A= (1−1k12−34k3k2−2k94k2−1k).\begin{align*} &\,A\\ =&\, \begin{pmatrix} 1-\frac1k&\frac12-\frac3{4k}\\[3mm] \frac3{k^2}-\frac2k&\frac9{4k^2}-\frac1k \end{pmatrix}. \end{align*}

解法二

思路

展开

由 (a) 可写成 A=(B2)−1A=(B^2)^{-1}。也可以先计算 B2B^2，再对所得矩阵直接使用二阶矩阵求逆公式。

答题过程

展开

From part (a),

A= B−1B−1= (B2)−1.\begin{align*} A=&\,B^{-1}B^{-1}\\ =&\,(B^2)^{-1}. \end{align*}

Now

 B2= (3k−4−2k) ×(3k−4−2k).\begin{align*} &\,B^2\\ =&\,\begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix} \\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix}3&k\\-4&-2k\end{pmatrix}. \end{align*}

Computing the entries,

 (B2)11= 3(3)+k(−4)= 9−4k, (B2)12= 3k+k(−2k)= 3k−2k2, (B2)21= (−4)(3)+(−2k)(−4)= −12+8k, (B2)22= (−4)k+(−2k)(−2k)= −4k+4k2.\begin{align*} &\,(B^2)_{11}\\ =&\,3(3)+k(-4)\\ =&\,9-4k,\\[4mm] &\,(B^2)_{12}\\ =&\,3k+k(-2k)\\ =&\,3k-2k^2,\\[4mm] &\,(B^2)_{21}\\ =&\,(-4)(3)+(-2k)(-4)\\ =&\,-12+8k,\\[4mm] &\,(B^2)_{22}\\ =&\,(-4)k+(-2k)(-2k)\\ =&\,-4k+4k^2. \end{align*}

Therefore,

 B2= (9−4kk(3−2k)8k−124k(k−1)).\begin{align*} &\,B^2\\ =&\,\begin{pmatrix} 9-4k&k(3-2k)\\ 8k-12&4k(k-1) \end{pmatrix}. \end{align*}

Also,

det⁡(B2)= (det⁡B)2= (−2k)2= 4k2.\begin{align*} \det(B^2)=&\,(\det B)^2\\ =&\,(-2k)^2\\ =&\,4k^2. \end{align*}

Swapping the diagonal entries, changing the signs of the off-diagonal entries and dividing by 4k24k^2 gives

 A= (1−1k12−34k3k2−2k94k2−1k).\begin{align*} &\,A\\ =&\, \begin{pmatrix} 1-\frac1k&\frac12-\frac3{4k}\\[3mm] \frac3{k^2}-\frac2k&\frac9{4k^2}-\frac1k \end{pmatrix}. \end{align*}