抛物线 $C$ 的方程为 $y^2 = 8x$。

直线 $l$

• 经过 $C$ 的焦点
• 斜率为 $\dfrac{8}{15}$
• 与 $C$ 相交于点 $G$，其中 $y>0$
• 与 $C$ 相交于点 $H$，其中 $y<0$

(a) 确定 $G$ 和 $H$ 的坐标。

线段 $GH$ 的中点为 $M$。

(b) 确定 $M$ 到 $C$ 的准线的最短距离。

将 $y^2=8x$ 与标准式 $y^2=4ax$ 比较，先确定焦点。用焦点和已知斜率写出直线方程，再把 $x$ 表示成 $y$ 并代入抛物线，得到关于 $y$ 的二次方程。

Comparing $y^2=8x$ with $y^2=4ax$ gives $a=2$, so the focus is $(2,0)$.

The equation of $l$ is therefore

Rearranging this equation,

Since $y^2=8x$, the $y$-coordinates of the points of intersection satisfy

Thus $y=-1$ or $y=16$. Using $x=\dfrac{y^2}{8}$, when $y=-1$,

When $y=16$,

Since $G$ has $y>0$ and $H$ has $y<0$,

也可以消去 $y$。把直线写成 $y=\frac8{15}x-\frac{16}{15}$，平方后与 $y^2=8x$ 联立，直接求两个交点的横坐标。

As above, the line has equation

Substituting this into $y^2=8x$ gives

Hence,

Therefore, $x=\dfrac18$ or $x=32$. When $x=\dfrac18$,

When $x=32$,

Hence,

抛物线 $y^2=4ax$ 的准线是 $x=-a=-2$。先求中点 $M$ 的横坐标；由于准线是竖直线，最短距离就是两者横坐标之差。

The $x$-coordinate of the midpoint $M$ is

The directrix of $y^2=8x$ is $x=-2$. Therefore, the shortest distance from $M$ to the directrix is