题目

Problem

A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

(a) Describe fully the single geometric transformation represented by the matrix $A$ .

(2)

The matrix $B$ represents an enlargement with centre $(0, 0)$ and scale factor $2\sqrt{2}$ .

(b) Write down matrix $B$ .

(1)

Given that

$I$ is the identity matrix
the transformation represented by $(A + I)$ followed by the transformation represented by $B$ is represented by the matrix $C$
the triangle $T$ is transformed by $C$ to the triangle $T'$
$T'$ has an area of $12(1 + \sqrt{2})$

(4)

题目中文翻译

A = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}

(a) 完整描述矩阵 $A$ 所表示的单一几何变换。

(2)

矩阵 $B$ 表示以 $(0, 0)$ 为中心、比例因子为 $2\sqrt{2}$ 的放大。

(b) 写出矩阵 $B$ 。

(1)

已知

$I$ 是单位矩阵
$(A + I)$ 所表示的变换后接 $B$ 所表示的变换由矩阵 $C$ 表示
三角形 $T$ 经 $C$ 变换为三角形 $T'$
$T'$ 的面积为 $12(1 + \sqrt{2})$

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

把矩阵与标准旋转矩阵 $\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}$ 比较。四个元素对应 $\cos\theta=\sin\theta=\frac1{\sqrt2}$ ，因此可确定旋转角和旋转中心。

答题过程

展开

The standard matrix for an anticlockwise rotation through an angle $\theta$ about the origin is

\begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}.

Since $\cos\dfrac\pi4=\sin\dfrac\pi4=\dfrac1{\sqrt2}$ , the transformation is a rotation through $\dfrac\pi4$ anticlockwise about the origin.

(b)

解法一

思路

展开

以原点为中心、比例因子为 $k$ 的放大由矩阵 $kI$ 表示，因此把单位矩阵的两个对角元素乘以 $2\sqrt2$ 即可。

答题过程

展开

An enlargement with centre at the origin and scale factor $2\sqrt2$ is represented by

\boxed{ B=\begin{pmatrix} 2\sqrt2 & 0\\ 0 & 2\sqrt2 \end{pmatrix} }.

(c)

解法一

思路

展开

先进行 $A+I$ 的变换，再进行 $B$ 的变换，所以复合矩阵是 $C=B(A+I)$ 。直接算出 $C$ 及其行列式；面积经过矩阵变换后乘以行列式绝对值，因此用 $T'$ 的面积除以 $|\det C|$ 。

答题过程

展开

The matrix representing the combined transformation is

C=B(A+I).

Thus,

\begin{align*} &\,C\\ =&\,\begin{pmatrix} 2\sqrt2&0\\ 0&2\sqrt2 \end{pmatrix}\\ &\,\hspace{2pt}\times \begin{pmatrix} 1+\frac1{\sqrt2}&-\frac1{\sqrt2}\\ \frac1{\sqrt2}&1+\frac1{\sqrt2} \end{pmatrix}. \end{align*}

Evaluating the entries,

\begin{align*} &\,C_{11}=C_{22}\\ =&\,2\sqrt2\bigg(1+\frac1{\sqrt2}\bigg)\\ =&\,2\sqrt2+2, \end{align*}

\begin{align*} C_{12}=&\,2\sqrt2\bigg(-\frac1{\sqrt2}\bigg)\\ =&\,-2, \end{align*}

and

\begin{align*} C_{21}=&\,2\sqrt2\bigg(\frac1{\sqrt2}\bigg)\\ =&\,2. \end{align*}

Thus,

\begin{align*} &\,C\\ =&\,\begin{pmatrix} 2+2\sqrt2&-2\\ 2&2+2\sqrt2 \end{pmatrix}. \end{align*}

Therefore,

\begin{align*} &\,\det C\\ =&\,(2+2\sqrt2)^2-(-2)(2)\\ =&\,4+8\sqrt2+8+4\\ =&\,16+8\sqrt2\\ =&\,8(2+\sqrt2). \end{align*}

Since

\begin{align*} &\,\operatorname{Area}(T')\\ =&\,|\det C|\operatorname{Area}(T), \end{align*}

we have

\begin{align*} &\,\operatorname{Area}(T)\\ =&\,\frac{12(1+\sqrt2)}{8(2+\sqrt2)}\\ =&\,\frac{3(1+\sqrt2)(2-\sqrt2)} {2(2+\sqrt2)(2-\sqrt2)}\\ =&\,\frac{3(2-\sqrt2+2\sqrt2-2)} {2(4-2)}\\ =&\,\boxed{\frac{3\sqrt2}{4}}. \end{align*}

解法二

思路

展开

不必完整乘出矩阵 $C$ 。利用

\begin{align*} &\,\det[B(A+I)]\\ =&\,\det B\det(A+I), \end{align*}

分别计算两个较简单的行列式，直接得到面积比例。

答题过程

展开

Using the multiplicative property of determinants,

\begin{align*} &\,\det C\\ =&\,\det B\det(A+I). \end{align*}

Now

\det B=(2\sqrt2)^2=8,

and

\begin{align*} &\,\det(A+I)\\ =&\,\bigg(1+\frac1{\sqrt2}\bigg)^2\\ &\,\hspace{2pt}-\bigg(-\frac1{\sqrt2}\bigg) \bigg(\frac1{\sqrt2}\bigg)\\ =&\,1+\frac2{\sqrt2}+\frac12+\frac12\\ =&\,2+\sqrt2. \end{align*}

Hence

|\det C|=8(2+\sqrt2).

Using the same rationalisation as in the first method,

\begin{align*} &\,\operatorname{Area}(T)\\ =&\,\frac{12(1+\sqrt2)}{8(2+\sqrt2)}\\ =&\,\boxed{\frac{3\sqrt2}{4}}. \end{align*}

FP1 2026 Jan Q5

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程