等轴双曲线 $H$ 的方程为 $xy = c^2$，其中 $c > 0$。

点 $P$ 在 $H$ 上，坐标为 $\left(ct, \dfrac{c}{t}\right)$，其中 $t > 0$。

直线 $l_1$ 是 $H$ 在 $P$ 处的切线。

(a) 用微积分方法证明 $l_1$ 的方程为

$x + t^2y = 2ct$

(3)

直线 $l_2$ 是 $H$ 在 $P$ 处的法线。

(b) 确定 $l_2$ 的方程。

(1)

已知

• $l_1$ 与 $x$ 轴相交于点 $X$，与 $y$ 轴相交于点 $Y$
• $l_2$ 与 $y$ 轴相交于点 $Z$

(c) 证明三角形 $XYZ$ 的面积为

$c^2(1 + t^4)$

(4)

当 $t = 3$ 时

• 三角形 $XYZ$ 的面积为 410
• 从 $P$ 经过原点的直线再次与 $H$ 相交于点 $Q$

(d) 确定 $PQ$ 的精确长度，将答案写成最简根式。

(3)

先把双曲线写成 $y=c^2x^{-1}$ 并求导。在点 $P$ 处代入 $x=ct$，得到切线斜率 $-\frac1{t^2}$，再用点斜式整理成题目要求的方程。

Since $xy=c^2$,

Hence,

At $P\left(ct,\dfrac ct\right)$, the gradient of the tangent is

Therefore, the tangent has equation

Multiplying by $t^2$ and rearranging,

as required.

法线斜率是切线斜率的负倒数，因此为 $t^2$。使用点 $P$ 写出法线的点斜式即可。

The gradient of the normal is $t^2$. Hence an equation of $l_2$ is

Equivalently,

先分别令切线中的 $y=0$、$x=0$，得到 $X$、$Y$；再令法线中的 $x=0$ 得到 $Z$。由于 $YZ$ 在 $y$ 轴上，可以直接把它作为底，点 $X$ 到 $y$ 轴的水平距离作为高。

From $x+t^2y=2ct$,

and

Putting $x=0$ in the equation of the normal gives

Since $c>0$ and $t>0$, the length of the vertical base $YZ$ is

The perpendicular distance from $X$ to the $y$-axis is $2ct$. Therefore,

as required.

官方评分资料也接受鞋带公式。把三个顶点依次写入行列式，展开后直接得到面积；这种方法不必另外判断哪一段纵坐标较大。

Using the coordinates found above and the shoelace formula,

because $c>0$ and $t>0$.

线段 $XY$ 位于切线上，线段 $PZ$ 位于法线上，所以二者互相垂直。可把 $XY$ 看作三角形的底、$PZ$ 看作对应的高，再分别用距离公式求长度。

Since $XY$ lies on the tangent and $PZ$ lies on the normal, $XY\perp PZ$. Also,

where $t>0$. Furthermore,

Therefore,

先把 $t=3$ 与面积 410 代入 (c)，利用 $c>0$ 求出 $c$，从而得到 $P$ 的坐标。直线 $OP$ 通过原点，而等轴双曲线关于原点中心对称，所以另一交点是 $Q=-P$，于是 $PQ=2OP$。

Using part (c) with $t=3$,

Thus $82c^2=410$, so $c^2=5$. Since $c>0$,

Hence,

The hyperbola $xy=c^2$ is symmetric about the origin. Therefore, the second intersection of the line $OP$ with $H$ is $Q=-P$, and so $PQ=2OP$. Now