(a) 将 $\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$ 用 $x$、$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 和 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}$ 表示。

当 $x=0$ 时，$y=2$，且 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=5$。

(b) 求 $x=0$ 时 $\dfrac{\mathrm{d}^3y}{\mathrm{d}x^3}$ 的值。

(c) 将 $y$ 展开为按 $x$ 升幂排列的级数，保留到 $x^3$ 项。

对原方程两边关于 $x$ 求导。左边的 $3x\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 要用乘积法则，所以会产生两项。

The product rule gives

Differentiating the original equation,

Therefore

把 $x=0$ 和 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=5$ 代入 (a)。含有 $x$ 的那一项会直接变成 $0$。

At $x=0$, the term containing $x$ in part (a) vanishes. Thus

Maclaurin 展开到 $x^3$ 需要函数值，以及一至三阶导数在 $0$ 处的值。题目已给 $y(0)$ 和 $y'(0)$，(b) 求出了 $y'''(0)$，还要从原微分方程求 $y''(0)$。

From the original differential equation,

At $x=0$,

Using the Maclaurin expansion,

Therefore, up to and including the term in $x^3$,