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FP2 2020 Oct Q6

A Level / Edexcel / FP2

IAL 2020 Oct Paper · Question 6

题目

Problem

6.

Obtain the general solution of the equation

 x2dydx +(xcot⁡x+2)xy =4sin⁡x 0<x<π\begin{align*} &\,x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\[2mm] &\,+(x\cot x+2)xy\\[2mm] &\,\hspace{2pt}=4\sin x\\[3mm] &\,0<x<\pi \end{align*}

Give your answer in the form y=f(x)y=f(x)

(8)
题目中文翻译

求下列方程的通解：

 x2dydx +(xcot⁡x+2)xy =4sin⁡x 0<x<π.\begin{align*} &\,x^2\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\[2mm] &\,+(x\cot x+2)xy\\[2mm] &\,\hspace{2pt}=4\sin x\\[3mm] &\,0<x<\pi. \end{align*}

将答案写成 y=f(x)y=f(x) 的形式。

(8)

解答

解法一

思路

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这是一个一阶线性微分方程。先除以 x2x^2，化成 dydx+P(x)y=Q(x)\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)。 积分因子来自 ∫(cot⁡x+2x) dx\int(\cot x+\frac2x)\,\mathrm{d}x。由于 0<x<π0<x<\pi，sin⁡x>0\sin x>0，所以 ln⁡(sin⁡x)\ln(\sin x) 不需要额外讨论绝对值符号。

答题过程

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Divide by x2x^2:

 dydx +(cot⁡x+2x)y=4sin⁡xx2\begin{align*} &\,\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\\[2mm] &\,+\big(\cot x+\frac2x\big)y =\frac{4\sin x}{x^2} \end{align*}

The integrating factor is

IF= e∫(cot⁡x+2x) dx= eln⁡(sin⁡x)+2ln⁡x= x2sin⁡x\begin{align*} \mathrm{IF} =&\,\mathrm{e}^{\int\big(\cot x+\frac2x\big)\,\mathrm{d}x}\\[4mm] =&\,\mathrm{e}^{\ln(\sin x)+2\ln x}\\[4mm] =&\,x^2\sin x \end{align*}

Multiplying the differential equation by x2sin⁡xx^2\sin x gives

 ddx(x2sin⁡x y)= x2sin⁡x⋅4sin⁡xx2= 4sin⁡2x\begin{align*} &\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(x^2\sin x\,y\big)\\[4mm] =&\,x^2\sin x\cdot\frac{4\sin x}{x^2}\\[4mm] =&\,4\sin^2x \end{align*}

Integrate:

 x2sin⁡x y= ∫4sin⁡2x dx= ∫2(1−cos⁡2x) dx= 2x−sin⁡2x+C\begin{align*} &\,x^2\sin x\,y\\[4mm] =&\,\int4\sin^2x\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\int 2(1-\cos2x)\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,2x-\sin2x+C \end{align*}

Therefore

y=2x−sin⁡2x+Cx2sin⁡x\begin{align*} y=\frac{2x-\sin2x+C}{x^2\sin x} \end{align*}