题目

Problem

1. The transformation $T$ from the $z$ -plane, where $z=x+\mathrm{i}y$ , to the $w$ -plane, where $w=u+\mathrm{i}v$ , is given by

\begin{align*} w=&\,\frac{z+p\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+3},\\[4mm] z\ne&\,3\mathrm{i},\qquad p\in\mathbb{Z}. \end{align*}

The point representing $\mathrm{i}(1+\sqrt3)$ is invariant under $T$ .

Determine the value of $p$ .

(3)

题目中文翻译

1. 变换 $T$ 将 $z$ 平面上的点变换到 $w$ 平面，其中 $z=x+\mathrm{i}y$ ， $w=u+\mathrm{i}v$ ，且

\begin{align*} w=&\,\frac{z+p\mathrm{i}}{\mathrm{i}z+3},\\[4mm] z\ne&\,3\mathrm{i},\qquad p\in\mathbb{Z}. \end{align*}

表示 $\mathrm{i}(1+\sqrt3)$ 的点在变换 $T$ 下保持不变。

求 $p$ 的值。

(3)

解答

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The point representing $\mathrm{i}(1 + \sqrt{3})$ is invariant under $T$ 这句，说明 $\mathrm{i}(1 + \sqrt{3})$ 是不动点。

不动点的意思是这个点经过 transformation 后仍然回到自己，所以这里要令

\begin{align*} z = w = \mathrm{i}(1+\sqrt{3}). \end{align*}

然后代入 transformation，解出整数 $p$ 。

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Since the point is invariant under $T$ ,

\begin{align*} z = w = \mathrm{i}(1+\sqrt{3}). \end{align*}

At this point the denominator of the transformation is

\begin{align*} &\,\mathrm{i}\big(\mathrm{i}(1+\sqrt3)\big)+3\\[4mm] =&\,-(1+\sqrt3)+3\\[2mm] =&\,2-\sqrt3. \end{align*}

Substituting into the transformation gives

\begin{align*} &\,\mathrm{i}(1+\sqrt3)\\[4mm] =&\,\frac{\mathrm{i}(1+\sqrt3+p)}{2-\sqrt3}. \end{align*}

Multiplying by $2-\sqrt3$ and cancelling $\mathrm{i}$ gives

\begin{align*} &\,(1+\sqrt3)(2-\sqrt3)\\[4mm] =&\,1+\sqrt3+p. \end{align*}

Now

\begin{align*} &\,(1+\sqrt3)(2-\sqrt3)\\[4mm] =&\,2-\sqrt3+2\sqrt3-3\\[2mm] =&\,-1+\sqrt3. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} -1+\sqrt3=&\,1+\sqrt3+p,\\[4mm] p=&\,-2. \end{align*}