CalcGospel 國際數學圖譜
返回

FP2 2021 Jan Q8

A Level / Edexcel / FP2

IAL 2021 Jan Paper · Question 8

题目

Problem

8. Given that z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}

(a) show that zn+1zn=2cos⁡nθz^n+\dfrac1{z^n}=2\cos n\theta

where nn is a positive integer.

(2)

(b) Show that

 cos⁡6θ= 132( cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ+10).\begin{align*} &\,\cos^6\theta\\[4mm] =&\,\frac1{32}\big(\\[4mm] &\,\hspace{2pt}\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+15\cos2\theta+10\big). \end{align*}
(5)

(c) Hence solve the equation

 cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ= 0,0⩽θ⩽π.\begin{align*} &\,\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+15\cos2\theta\\[4mm] =&\,0,\qquad 0\leqslant\theta\leqslant\pi. \end{align*}

Give your answers to 33 significant figures.

(4)

(d) Use calculus to determine the exact value of

 ∫0π/3(32cos⁡6θ −4cos⁡2θ) dθ.\begin{align*} &\,\int_0^{\pi/3}\big(32\cos^6\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-4\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta. \end{align*}
Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.
(5)
题目中文翻译

8. 已知 z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}。

(a) 证明 zn+1zn=2cos⁡nθz^n+\dfrac1{z^n}=2\cos n\theta，

其中 nn 是正整数。

(2)

(b) 证明

 cos⁡6θ= 132( cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ+10).\begin{align*} &\,\cos^6\theta\\[4mm] =&\,\frac1{32}\big(\\[4mm] &\,\hspace{2pt}\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+15\cos2\theta+10\big). \end{align*}
(5)

(c) 由此解下列方程：

 cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ= 0,0⩽θ⩽π.\begin{align*} &\,\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+15\cos2\theta\\[4mm] =&\,0,\qquad 0\leqslant\theta\leqslant\pi. \end{align*}

答案保留 33 位有效数字。

(4)

(d) 用微积分求下列定积分的精确值：

 ∫0π/3(32cos⁡6θ −4cos⁡2θ) dθ.\begin{align*} &\,\int_0^{\pi/3}\big(32\cos^6\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}-4\cos^2\theta\big)\,\mathrm{d}\theta. \end{align*}

不接受完全依赖计算器技术的解答。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

用 Euler form：zn=einθz^n=\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}，而 1zn=e−inθ\dfrac1{z^n}=\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}。两者相加时虚部抵消，只剩 2cos⁡nθ2\cos n\theta。

答题过程

展开

Since z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},

zn= einθ= cos⁡nθ+isin⁡nθ.\begin{align*} z^n =&\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}n\theta}\\[4mm] =&\,\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta. \end{align*}

Also,

 1zn= e−inθ= cos⁡(−nθ)+isin⁡(−nθ)= cos⁡nθ−isin⁡nθ.\begin{align*} &\,\frac1{z^n}\\[4mm] =&\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i}n\theta}\\[4mm] =&\,\cos(-n\theta)+\mathrm{i}\sin(-n\theta)\\[4mm] =&\,\cos n\theta-\mathrm{i}\sin n\theta. \end{align*}

Therefore,

 zn+1zn= cos⁡nθ+isin⁡nθ +cos⁡nθ−isin⁡nθ= 2cos⁡nθ.\begin{align*} &\,z^n+\frac1{z^n}\\[4mm] =&\,\cos n\theta+\mathrm{i}\sin n\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\cos n\theta-\mathrm{i}\sin n\theta\\[4mm] =&\,2\cos n\theta. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

因为 z+1z=2cos⁡θz+\dfrac1z=2\cos\theta，所以展开 (z+1z)6\big(z+\dfrac1z\big)^6，再把 zk+1zkz^k+\dfrac1{z^k} 换成 2cos⁡kθ2\cos k\theta。

答题过程

展开

From z=eiθz=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta},

z+1z=2cos⁡θ.\begin{align*} z+\frac1z=2\cos\theta. \end{align*}

Hence,

 64cos⁡6θ= (z+1z)6= z6+6z5(1z) +15z4(1z2) +20z3(1z3) +15z2(1z4) +6z(1z5) +1z6= z6+6z4+15z2 +20 +15z2+6z4+1z6= (z6+1z6) +6(z4+1z4) +15(z2+1z2)+20.\begin{align*} &\,64\cos^6\theta\\[4mm] =&\,\bigg(z+\frac1z\bigg)^6\\[4mm] =&\,z^6+6z^5\big(\frac1z\big)\\[4mm] &\,+15z^4\big(\frac1{z^2}\big) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+20z^3\bigg(\frac1{z^3}\bigg)\\[4mm] &\,+15z^2\big(\frac1{z^4}\big) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+6z\bigg(\frac1{z^5}\bigg)\\[4mm] &\,+\frac1{z^6}\\[4mm] =&\,z^6+6z^4+15z^2\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+20\\[4mm] &\,+\frac{15}{z^2}+\frac6{z^4}+\frac1{z^6}\\[4mm] =&\,\big(z^6+\frac1{z^6}\big) \\[4mm] &\,\hspace{2pt}+6\bigg(z^4+\frac1{z^4}\bigg)\\[4mm] &\,+15\big(z^2+\frac1{z^2}\big)+20. \end{align*}

Using part (a),

 64cos⁡6θ= 2cos⁡6θ+12cos⁡4θ +30cos⁡2θ+20.\begin{align*} &\,64\cos^6\theta\\[4mm] =&\,2\cos6\theta+12\cos4\theta\\[4mm] &\,+30\cos2\theta+20. \end{align*}

Therefore,

 cos⁡6θ= 132(cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ+10).\begin{align*} &\,\cos^6\theta\\[4mm] =&\,\frac1{32}\big(\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+15\cos2\theta+10\big). \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

用 (b) 把题目左边换成 32cos⁡6θ−1032\cos^6\theta-10。然后解 cos⁡6θ=516\cos^6\theta=\dfrac5{16}，在 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi 内取两个角。

答题过程

展开

From part (b),

 cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ+10= 32cos⁡6θ.\begin{align*} &\,\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+15\cos2\theta+10\\[4mm] =&\,32\cos^6\theta. \end{align*}

So the given equation becomes

32cos⁡6θ−10= 0cos⁡6θ= 516.\begin{align*} 32\cos^6\theta-10=&\,0\\[4mm] \cos^6\theta=&\,\frac5{16}. \end{align*}

Therefore,

cos⁡θ=±(516)1/6.\begin{align*} \cos\theta=\pm\big(\frac5{16}\big)^{1/6}. \end{align*}

For 0⩽θ⩽π0\leqslant\theta\leqslant\pi,

θ= 0.6027…or θ= 2.5388…\begin{align*} \theta=&\,0.6027\ldots\\[4mm] \text{or }\theta=&\,2.5388\ldots \end{align*}

Hence, to 33 significant figures,

θ=0.603,2.54.\begin{align*} \theta=0.603,\quad 2.54. \end{align*}

(d)

解法一

思路

展开

题目说用 calculus，且不能只靠计算器。先用 (b) 把 32cos⁡6θ32\cos^6\theta 改成多角表达式，再用

4cos⁡2θ=2+2cos⁡2θ.\begin{align*} 4\cos^2\theta=2+2\cos2\theta. \end{align*}

这样就能逐项积分。

答题过程

展开

Using part (b),

 32cos⁡6θ= cos⁡6θ+6cos⁡4θ +15cos⁡2θ+10.\begin{align*} &\,32\cos^6\theta\\[4mm] =&\,\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,+15\cos2\theta+10. \end{align*}

Also,

4cos⁡2θ=2+2cos⁡2θ.\begin{align*} 4\cos^2\theta=2+2\cos2\theta. \end{align*}

Therefore,

f(θ)= 32cos⁡6θ−4cos⁡2θ= cos⁡6θ+6cos⁡4θ +13cos⁡2θ+8.\begin{align*} f(\theta)=&\,32\cos^6\theta-4\cos^2\theta\\[4mm] =&\,\cos6\theta+6\cos4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+13\cos2\theta+8. \end{align*}

Integrating term by term gives an antiderivative

F(θ)= 16sin⁡6θ+32sin⁡4θ +132sin⁡2θ+8θ.\begin{align*} F(\theta)=&\,\frac16\sin6\theta+\frac32\sin4\theta\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{13}{2}\sin2\theta+8\theta. \end{align*}

Hence the required integral is

I= ∫0π/3f(θ) dθ= F(π3)−F(0).\begin{align*} I=&\,\int_0^{\pi/3}f(\theta)\,\mathrm{d}\theta\\[4mm] =&\,F\bigg(\frac{\pi}{3}\bigg)-F(0). \end{align*}

Substituting the limits, with F(0)=0F(0)=0,

 16sin⁡2π+32sin⁡4π3 +132sin⁡2π3+8π3= 0+32(−32) +132(32)+8π3= 532+8π3.\begin{align*} &\,\frac16\sin2\pi+\frac32\sin\frac{4\pi}{3}\\[4mm] &\,+\frac{13}{2}\sin\frac{2\pi}{3} +\frac{8\pi}{3}\\[4mm] =&\,0+\frac32\big(-\frac{\sqrt3}{2}\big)\\[4mm] &\,+\frac{13}{2}\big(\frac{\sqrt3}{2}\big) +\frac{8\pi}{3}\\[4mm] =&\,\frac{5\sqrt3}{2}+\frac{8\pi}{3}. \end{align*}