题目

Problem

Given that

\begin{align*} \frac{2n + 1}{n^2 (n + 1)^2} \equiv&\, \frac{A}{n^2} + \frac{B}{(n + 1)^2} \end{align*}

(a) determine the value of $A$ and the value of $B$

(1)

(b) Hence show that, for $n \geqslant 5$

\begin{align*} \sum_{r=5}^n \frac{2r + 1}{r^2 (r + 1)^2} =&\, \frac{n^2 + an + b}{c(n + 1)^2} \end{align*}

where $a$ , $b$ and $c$ are integers to be determined.

(4)

题目中文翻译

已知

\begin{align*} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2}\equiv&\,\frac{A}{n^2}+\frac{B}{(n+1)^2}. \end{align*}

(a) 求 $A$ 和 $B$ 的值。

(1)

(b) 由此证明，当 $n\geqslant5$ 时，

\begin{align*} \sum_{r=5}^{n}\frac{2r+1}{r^2(r+1)^2} =&\,\frac{n^2+an+b}{c(n+1)^2}, \end{align*}

其中 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 为待求的整数，并求出它们的值。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

右边通分后比较分子即可。因为分母已经相同，所以只需要比较

\begin{align*} 2n+1 \end{align*}

和展开后的分子。

答题过程

展开

Start with

\begin{align*} \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} \equiv \frac{A}{n^2}+\frac{B}{(n+1)^2}. \end{align*}

Use the common denominator $n^2(n+1)^2$ :

\begin{align*} \frac{A}{n^2}+\frac{B}{(n+1)^2} =&\,\frac{A(n+1)^2+Bn^2}{n^2(n+1)^2}. \end{align*}

\begin{align*} 2n+1 \equiv&\,A(n+1)^2+Bn^2\\[2mm] =&\,A(n^2+2n+1)+Bn^2\\[2mm] =&\,(A+B)n^2+2An+A. \end{align*}

Compare coefficients:

\begin{align*} A=1,\qquad 2A=2,\qquad A+B=0. \end{align*}

Therefore

\begin{align*} A=1,\qquad B=-1. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

由 (a) 可得

\begin{align*} \frac{2r+1}{r^2(r+1)^2} =\frac1{r^2}-\frac1{(r+1)^2}. \end{align*}

这是望远镜求和。把 $r=5$ 到 $n$ 展开后，中间项会全部抵消。

答题过程

展开

From part (a),

\begin{align*} \frac{2r+1}{r^2(r+1)^2} =&\,\frac1{r^2}-\frac1{(r+1)^2}. \end{align*}

\begin{align*} &\,\sum_{r=5}^{n} \frac{2r+1}{r^2(r+1)^2}\\[4mm] =&\,\sum_{r=5}^{n} \Big(\frac1{r^2}-\frac1{(r+1)^2}\Big). \end{align*}

Write out the terms:

\begin{align*} &\,\Big(\frac1{5^2}-\frac1{6^2}\Big)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\Big(\frac1{6^2}-\frac1{7^2}\Big)\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+\Big(\frac1{7^2}-\frac1{8^2}\Big)+\cdots\\[4mm] &\,\hspace{6pt}+\Big(\frac1{(n-1)^2}-\frac1{n^2}\Big)\\[4mm] &\,\hspace{8pt}+\Big(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\Big). \end{align*}

The middle terms cancel, so

\begin{align*} \sum_{r=5}^{n} \frac{2r+1}{r^2(r+1)^2} =&\,\frac1{25}-\frac1{(n+1)^2}. \end{align*}

Put over a common denominator:

\begin{align*} \frac1{25}-\frac1{(n+1)^2} =&\,\frac{(n+1)^2-25}{25(n+1)^2}\\[2mm] =&\,\frac{n^2+2n+1-25}{25(n+1)^2}\\[2mm] =&\,\frac{n^2+2n-24}{25(n+1)^2}. \end{align*}

Thus

\begin{align*} a=2,\qquad b=-24,\qquad c=25. \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以先从 $r=1$ 求到 $n$ ，记为 $S_n$ ，再减去前四项的和 $S_4$ 。相消规律相同，但求和的起点通过相减来处理。

答题过程

展开

Using part (a), define

\begin{align*} S_n=&\,\sum_{r=1}^{n}\frac{2r+1}{r^2(r+1)^2}\\[2mm] =&\,\sum_{r=1}^{n}\Big(\frac1{r^2}-\frac1{(r+1)^2}\Big). \end{align*}

Expanding,

\begin{align*} S_n=&\,\Big(1-\frac1{2^2}\Big)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+\Big(\frac1{2^2}-\frac1{3^2}\Big)\\[3mm] &\,\hspace{4pt}+\Big(\frac1{3^2}-\frac1{4^2}\Big)+\cdots\\[3mm] &\,\hspace{6pt}+\Big(\frac1{(n-1)^2}-\frac1{n^2}\Big)\\[3mm] &\,\hspace{8pt}+\Big(\frac1{n^2}-\frac1{(n+1)^2}\Big)\\[3mm] =&\,1-\frac1{(n+1)^2}. \end{align*}

The first four terms have sum

\begin{align*} S_4=&\,\Big(1-\frac1{2^2}\Big) +\Big(\frac1{2^2}-\frac1{3^2}\Big)\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+\Big(\frac1{3^2}-\frac1{4^2}\Big) +\Big(\frac1{4^2}-\frac1{5^2}\Big)\\[3mm] =&\,1-\frac1{25}. \end{align*}

Therefore, for $n\geqslant5$ ,

\begin{align*} &\,\sum_{r=5}^{n}\frac{2r+1}{r^2(r+1)^2}\\[3mm] =&\,S_n-S_4\\[2mm] =&\,\Big(1-\frac1{(n+1)^2}\Big)-\Big(1-\frac1{25}\Big)\\[3mm] =&\,\frac1{25}-\frac1{(n+1)^2}\\[3mm] =&\,\frac{(n+1)^2-25}{25(n+1)^2}\\[3mm] =&\,\frac{n^2+2n-24}{25(n+1)^2}. \end{align*}

Thus $a=2$ , $b=-24$ and $c=25$ .

FP2 2022 June Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

解法二

思路

答题过程