题目

Problem

2. (a) Use algebra to determine the set of values of $x$ for which

\begin{align*} x - 5 < \frac{9}{x + 3} \end{align*}

(6)

(b) Hence, or otherwise, determine the set of values of $x$ for which

\begin{align*} x - 5 < \frac{9}{|x + 3|} \end{align*}

(2)

题目中文翻译

(a) 用代数方法求使下列不等式成立的 $x$ 的取值集合：

\begin{align*} x-5<\frac9{x+3}. \end{align*}

(6)

(b) 由此或用其他方法，求使下列不等式成立的 $x$ 的取值集合：

\begin{align*} x-5<\frac9{|x+3|}. \end{align*}

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

这是分式不等式，不能直接乘以 $x+3$ 而不考虑符号。先移到一边并通分，再用 critical values 分区间判断。

答题过程

展开

We need

\begin{align*} x-5<\frac9{x+3}, \end{align*}

where

\begin{align*} x\neq -3. \end{align*}

Move all terms to the left:

\begin{align*} x-5-\frac9{x+3}<0. \end{align*}

Use the common denominator $x+3$ :

\begin{align*} x-5-\frac9{x+3} =&\,\frac{(x-5)(x+3)-9}{x+3}. \end{align*}

Expand the numerator:

\begin{align*} (x-5)(x+3)-9 =&\,x^2-2x-15-9\\[2mm] =&\,x^2-2x-24\\[2mm] =&\,(x-6)(x+4). \end{align*}

So the inequality becomes

\begin{align*} \frac{(x-6)(x+4)}{x+3}<0. \end{align*}

The critical values are

\begin{align*} x=-4,\quad -3,\quad 6. \end{align*}

The signs of the factors give the following sign chart for $E$ :

\begin{align*} E=\frac{(x-6)(x+4)}{x+3}. \end{align*}

Interval	$x-6$	$x+4$	$x+3$	$E$
$x<-4$	$-$	$-$	$-$	$-$
$-4<x<-3$	$-$	$+$	$-$	$+$
$-3<x<6$	$-$	$+$	$+$	$-$
$x>6$	$+$	$+$	$+$	$+$

We require $E<0$ . The values $x=-4$ and $x=6$ give equality, while $x=-3$ is undefined, so all three boundary values are excluded. Therefore

\begin{align*} x<-4 \quad\text{or}\quad -3<x<6. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

因为分母是 $|x+3|$ ，所以右边始终为正，且 $x\neq -3$ 。

当 $x>-3$ 时， $|x+3|=x+3$ ，沿用 (a) 得 $-3<x<6$ 。

当 $x<-3$ 时，右边仍为正，而 $x-5<0$ ，所以不等式自动成立。

答题过程

展开

We need

\begin{align*} x-5<\frac9{|x+3|}, \end{align*}

where $x\neq -3$ .

If $x>-3$ , then $|x+3|=x+3$ , so from part (a),

\begin{align*} -3<x<6. \end{align*}

If $x<-3$ , then

\begin{align*} x-5<0 \end{align*}

and

\begin{align*} \frac9{|x+3|}>0. \end{align*}

So the inequality is true for all $x<-3$ .

Therefore the solution is

\begin{align*} x<6,\qquad x\neq -3. \end{align*}

FP2 2022 June Q2

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程