已知 $y=\sec x$。

(a) 证明

其中 $p$、$q$ 为待求的整数。

(b) 由此求 $\sec x$ 在 $\frac{\pi}{3}$ 处的 Taylor 级数展开式，按 $\big(x-\frac{\pi}{3}\big)$ 的升幂排列，直至并包括 $\big(x-\frac{\pi}{3}\big)^3$ 项，各项系数须为最简形式。

(c) 利用 (b) 的答案，求 $\sec\big(\frac{7\pi}{24}\big)$ 的近似值，保留四位有效数字。

连续求导时，先把二阶导数整理成只含 $\sec x$ 的形式，会让第三次求导更短。最后把 $\sec x\tan x$ 提出来，就能读出 $p,q$。

Since $y=\sec x$,

Differentiate again:

Differentiate a third time:

Therefore

求得二阶导数 $\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} = \sec x\tan^2x+\sec^3x$ 后，不代换 $\tan^2 x$。直接使用乘积求导法则与链式法则对该表达式再次求导，最后提取公因式 $\sec x\tan x$ 并将 $\tan^2 x$ 化为 $\sec^2 x - 1$ 来统一简化。

From the first differentiation, we have:

Differentiating again gives:

Differentiate a third time directly using the Product Rule and Chain Rule:

Factor out $\sec x\tan x$:

Substitute $\tan^2x = \sec^2x - 1$:

Comparing this with the target expression:

we find:

把 $\sec x$ 写成 $\frac1{\cos x}$，先用商法则求二阶导数，再整理成 $\cos x$ 的负次幂。第三次求导后，提取 $\frac{\sin x}{\cos^2x}=\sec x\tan x$。

Since $y=(\cos x)^{-1}$,

Using the quotient rule,

Differentiate once more:

Therefore $\boxed{p=6,\quad q=-1}$.

Taylor series 需要 $f(a), f'(a), f''(a), f'''(a)$。这里 $a=\frac{\pi}{3}$，并且 (a) 已经给了三阶导数的方便形式。

Let $f(x)=\sec x$ and $a=\frac{\pi}{3}$. Then

Using

we get

因为 $\frac{7\pi}{24}$ 离 $\frac{\pi}{3}=\frac{8\pi}{24}$ 很近，所以把 $x=\frac{7\pi}{24}$ 代入 (b) 的展开式即可。注意这是用展开式近似，不是直接算原函数。

When $x=\frac{7\pi}{24}$,

Therefore

Hence, to four significant figures,