CalcGospel 國際數學圖譜
返回

FP2 2024 Jan Q2

A Level / Edexcel / FP2

IAL 2024 Jan Paper · Question 2

题目

Problem

2.

z=6−63i\begin{align*} z = 6 - 6\sqrt{3}\mathrm{i} \end{align*}

(a) (i) Determine the modulus of zz

(ii) Show that the argument of zz is −π3-\frac{\pi}{3}

(3)

Using de Moivre’s theorem, and making your method clear,

(b) determine, in simplest form, z4z^4

(2)

(c) Determine the values of ww such that w2=zw^2 = z , giving your answers in the form a+iba + \mathrm{i}b , where aa and bb are real numbers.

(3)
题目中文翻译 z= 6−63 i.\begin{align*} z=&\,6-6\sqrt3\,\mathrm{i}. \end{align*}

(a) (i) 求 zz 的模。

(ii) 证明 zz 的辐角为 −π3-\frac{\pi}{3}。

(3)

利用 de Moivre 定理，并清楚展示所用方法，

(b) 求 z4z^4，将答案化为最简形式。

(2)

(c) 求满足 w2=zw^2=z 的所有 ww 的值，将答案写成 a+iba+\mathrm{i}b 的形式，其中 aa、bb 为实数。

(3)

解答

(a)(i)

解法一

思路

展开

模长就是复平面上点 (6,−63)(6,-6\sqrt3) 到原点的距离。

答题过程

展开 ∣z∣= 62+(−63)2= 36+108= 144= 12\begin{align*} |z| =&\, \sqrt{6^2+(-6\sqrt3)^2}\\[4mm] =&\, \sqrt{36+108}\\[4mm] =&\, \sqrt{144}\\[4mm] =&\, \boxed{12} \end{align*}

(a)(ii)

解法一

思路

展开

zz 的实部为正、虚部为负，所以在第四象限。参考角满足 tan⁡α=3\tan\alpha=\sqrt3，因此参考角是 π3\frac{\pi}{3}，argument 是负的。

答题过程

展开

Since z=6−63iz=6-6\sqrt3\mathrm{i} is in the fourth quadrant,

tan⁡∣arg⁡z∣= ∣−636∣= 3\begin{align*} \tan|\arg z| =&\, \bigg|\frac{-6\sqrt3}{6}\bigg|\\[4mm] =&\, \sqrt3 \end{align*}

Hence

∣arg⁡z∣= π3\begin{align*} |\arg z|=&\,\frac{\pi}{3} \end{align*}

Therefore

arg⁡z=−π3\begin{align*} \arg z=-\frac{\pi}{3} \end{align*}

解法二

思路

展开

由模长为 1212，将 zz 提出因子 1212，括号内便是单位圆上的实部和虚部。识别其余弦、正弦，再结合第四象限确定辐角。

答题过程

展开

Using ∣z∣=12|z|=12,

z= 12(12−32i).\begin{align*} z=&\,12\bigg(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\bigg). \end{align*}

For the principal argument θ\theta,

cos⁡θ= 12,sin⁡θ= −32.\begin{align*} \cos\theta=&\,\frac12,& \sin\theta=&\,-\frac{\sqrt3}{2}. \end{align*}

Since zz lies in the fourth quadrant,

θ= −π3.\begin{align*} \theta=&\,-\frac{\pi}{3}. \end{align*}

Thus

z= 12(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)),\begin{align*} z=&\,12\bigg(\cos\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg)\bigg), \end{align*}

so arg⁡z=−π3\boxed{\arg z=-\frac{\pi}{3}}.

(b)

解法一

思路

展开

先把 zz 写成模长-辐角形式，再用 De Moivre’s theorem。注意 z4z^4 的模长是 12412^4，辐角是 4(−π3)4\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg)。

答题过程

展开

From part (a),

z= 12(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3))\begin{align*} z =&\, 12\bigg(\cos\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg)\bigg) \end{align*}

Using de Moivre’s theorem,

z4= 124(cos⁡(−4π3)+isin⁡(−4π3))= 20736(−12+32i)= −10368+103683 i\begin{align*} z^4 =&\, 12^4\bigg(\cos\bigg(-\frac{4\pi}{3}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{4\pi}{3}\bigg)\bigg)\\[4mm] =&\, 20736\bigg(-\frac12+\frac{\sqrt3}{2}\mathrm{i}\bigg)\\[4mm] =&\, \boxed{-10368+10368\sqrt3\,\mathrm{i}} \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

求平方根时，模长开平方，辐角减半。因为平方根有两个，另一个与第一个相差 π\pi，也就是取相反数。

答题过程

展开

Since

z= 12(cos⁡(−π3)+isin⁡(−π3)),\begin{align*} z =&\, 12\bigg(\cos\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{\pi}{3}\bigg)\bigg), \end{align*}

one square root is

w= 12(cos⁡(−π6)+isin⁡(−π6))= 23(32−12i)= 3−3 i\begin{align*} w =&\, \sqrt{12}\bigg(\cos\bigg(-\frac{\pi}{6}\bigg) +\mathrm{i}\sin\bigg(-\frac{\pi}{6}\bigg)\bigg)\\[4mm] =&\, 2\sqrt3\bigg(\frac{\sqrt3}{2}-\frac12\mathrm{i}\bigg)\\[4mm] =&\, 3-\sqrt3\,\mathrm{i} \end{align*}

The other square root is its negative. Therefore

w=3−3 iorw=−3+3 i\begin{align*} \boxed{w=3-\sqrt3\,\mathrm{i} \quad\text{or}\quad w=-3+\sqrt3\,\mathrm{i}} \end{align*}

解法二

思路

展开

也可以不用极形式，直接设 w=a+biw=a+b\mathrm{i}，然后比较实部和虚部。这种方法更代数化，也能检查上面的答案。

答题过程

展开

Let

w=a+bi\begin{align*} w=a+b\mathrm{i} \end{align*}

Then

w2= (a+bi)2= a2−b2+2abi\begin{align*} w^2 =&\, (a+b\mathrm{i})^2\\[4mm] =&\, a^2-b^2+2ab\mathrm{i} \end{align*}

Since w2=6−63 iw^2=6-6\sqrt3\,\mathrm{i},

a2−b2= 62ab= −63\begin{align*} a^2-b^2=&\,6\\[2mm] 2ab=&\,-6\sqrt3 \end{align*}

From 2ab=−632ab=-6\sqrt3,

b=−33a\begin{align*} b=-\frac{3\sqrt3}{a} \end{align*}

Substitute into a2−b2=6a^2-b^2=6:

a2−27a2= 6a4−27= 6a2a4−6a2−27= 0(a2−9)(a2+3)= 0\begin{align*} a^2-\frac{27}{a^2}=&\,6\\[4mm] a^4-27=&\,6a^2\\[4mm] a^4-6a^2-27=&\,0\\[4mm] (a^2-9)(a^2+3)=&\,0 \end{align*}

So a2=9a^2=9, giving a=±3a=\pm 3. Correspondingly,

a=3⇒b=−3a=−3⇒b=3\begin{align*} a=3&\Rightarrow b=-\sqrt3\\ a=-3&\Rightarrow b=\sqrt3 \end{align*}

Therefore

w=3−3 iorw=−3+3 i\begin{align*} \boxed{w=3-\sqrt3\,\mathrm{i} \quad\text{or}\quad w=-3+\sqrt3\,\mathrm{i}} \end{align*}