题目

Problem

(a) Express

\begin{align*} \frac{1}{(n + 3)(n + 5)} \end{align*}

in partial fractions.

(2)

(b) Hence, using the method of differences, show that for all positive integer values of $n$ ,

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n} \frac{1}{(r + 3)(r + 5)} =&\, \frac{n(pn + q)}{40(n + 4)(n + 5)} \end{align*}

where $p$ and $q$ are integers to be determined.

(4)

\begin{align*} \frac{1}{9 \times 11} + \frac{1}{10 \times 12} + \dots + \frac{1}{24 \times 26} \end{align*}

(2)

题目中文翻译

(a) 将

\begin{align*} \frac1{(n+3)(n+5)} \end{align*}

分解为部分分式。

(2)

(b) 由此，使用逐项相消法，证明对于所有正整数 $n$ ，

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}\frac1{(r+3)(r+5)} =&\,\frac{n(pn+q)}{40(n+4)(n+5)}, \end{align*}

并求出整数 $p$ 和 $q$ 的值。

(4)

\begin{align*} &\,\frac1{9\times11}+\frac1{10\times12}\\[2mm] &\,\hspace{2pt}+\dots+\frac1{24\times26}. \end{align*}

(2)

解答

(a)

解法一

思路

展开

分母两个一次因式相差 $2$ ，部分分式会是两个简单分式相减。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} \frac{1}{(n+3)(n+5)} \equiv&\,\frac{A}{n+3}+\frac{B}{n+5} \end{align*}

Then

\begin{align*} 1\equiv A(n+5)+B(n+3) \end{align*}

Putting $n=-3$ gives $1=2A$ , so $A=\frac12$ .

Putting $n=-5$ gives $1=-2B$ , so $B=-\frac12$ .

Therefore

\begin{align*} \boxed{ \frac{1}{(n+3)(n+5)} =\frac{1}{2(n+3)}-\frac{1}{2(n+5)} } \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

把 (a) 的结果用于求和后，展开前几项和最后几项。由于分母相差 $2$ ，会留下前两个正项和最后两个负项。

答题过程

展开

Using part (a),

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(r+3)(r+5)} =&\, \frac12\sum_{r=1}^{n} \bigg(\frac{1}{r+3}-\frac{1}{r+5}\bigg) \end{align*}

Expanding the terms,

\begin{align*} \frac12\sum_{r=1}^{n} \bigg(\frac{1}{r+3}-\frac{1}{r+5}\bigg) =&\, \frac12\bigg(\frac14-\frac16\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{2pt}+\frac12\bigg(\frac15-\frac17\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{4pt}+\frac12\bigg(\frac16-\frac18\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{6pt}+\cdots\\[4mm] &\,\hspace{8pt}+\frac12\bigg(\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+4}\bigg)\\[4mm] &\,\hspace{10pt}+\frac12\bigg(\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+5}\bigg) \end{align*}

After cancellation,

\begin{align*} \sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(r+3)(r+5)} =&\, \frac12\bigg( \frac14+\frac15-\frac{1}{n+4}-\frac{1}{n+5} \bigg)\\[4mm] =&\, \frac12\bigg( \frac{9}{20}-\frac{2n+9}{(n+4)(n+5)} \bigg)\\[4mm] =&\, \frac12\bigg( \frac{9(n+4)(n+5)-20(2n+9)} {20(n+4)(n+5)} \bigg)\\[4mm] =&\, \frac{9(n^2+9n+20)-40n-180} {40(n+4)(n+5)}\\[4mm] =&\, \frac{9n^2+41n}{40(n+4)(n+5)}\\[4mm] =&\, \frac{n(9n+41)}{40(n+4)(n+5)} \end{align*}

Hence

\begin{align*} \boxed{p=9,\qquad q=41} \end{align*}

(c)

解法一

思路

展开

$9\times11$ 对应 $(r+3)(r+5)$ 中的 $r=6$ ，而 $24\times26$ 对应 $r=21$ 。所以用 $S_{21}-S_5$ 。

答题过程

展开

Let

\begin{align*} S_n=\sum_{r=1}^{n}\frac{1}{(r+3)(r+5)} =\frac{n(9n+41)}{40(n+4)(n+5)} \end{align*}

Then the required sum is

\begin{align*} S_{21}-S_5 =&\, \frac{21(9\cdot21+41)}{40(25)(26)} -\frac{5(9\cdot5+41)}{40(9)(10)}\\[4mm] =&\, \frac{21(230)}{26000} -\frac{5(86)}{3600}\\[4mm] =&\, \frac{483}{2600}-\frac{43}{360}\\[4mm] =&\, \frac{4347-2795}{23400}\\[4mm] =&\, \frac{1552}{23400}\\[4mm] =&\, \boxed{\frac{194}{2925}} \end{align*}

FP2 2024 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程

(c)

解法一

思路

答题过程