题目

Problem

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} -4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} -5y^2 =&\, \mathrm{e}^{x^2-9} \end{align*}

Given that $y=2$ and $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ at $x=3$ , determine a Taylor series for $y$ in ascending powers of $(x-3)$ , up to and including the term in $(x-3)^3$

(5)

题目中文翻译

已知微分方程

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} -4\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-5y^2 =&\,\mathrm{e}^{x^2-9}. \end{align*}

在 $x=3$ 处， $y=2$ 且 $\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=-1$ 。求 $y$ 按 $(x-3)$ 的升幂排列的泰勒展开式，直到并包括 $(x-3)^3$ 项。

(5)

解答

解法一

思路

展开

Taylor series 到三次项需要 $y(3)$ 、 $y'(3)$ 、 $y''(3)$ 、 $y'''(3)$ 。前两个已给出，先代入原方程求 $y''(3)$ ，再把原方程对 $x$ 求导来求 $y'''(3)$ 。

答题过程

展开

Given

\begin{align*} y(3)=2,\qquad y'(3)=-1 \end{align*}

Substitute into the differential equation:

\begin{align*} y''(3)-4(-1)-5(2)^2 =&\, \mathrm{e}^{3^2-9}\\[3mm] y''(3)+4-20 =&\, 1\\[3mm] y''(3) =&\, 17 \end{align*}

Differentiate the differential equation:

\begin{align*} y'''-4y''-10yy' =&\, 2x\mathrm{e}^{x^2-9} \end{align*}

At $x=3$ ,

\begin{align*} y'''(3)-4(17)-10(2)(-1) =&\, 2(3)\mathrm{e}^{3^2-9}\\[3mm] y'''(3)-68+20 =&\, 6\\[3mm] y'''(3) =&\, 54 \end{align*}

Using Taylor’s formula about $x=3$ ,

\begin{align*} y =&\, y(3)+y'(3)(x-3) +\frac{y''(3)}{2!}(x-3)^2\\[2mm] &\,\hspace{2pt}+\frac{y'''(3)}{3!}(x-3)^3+\cdots \end{align*}

Therefore

\begin{align*} y =&\, 2-(x-3) +\frac{17}{2}(x-3)^2 +\frac{54}{6}(x-3)^3+\cdots\\[3mm] =&\, \boxed{ 2-(x-3)+\frac{17}{2}(x-3)^2+9(x-3)^3+\cdots } \end{align*}

FP2 2025 June Q2

题目

解答

解法一

思路

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