题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows a sketch of the circles $C_1$ and $C_2$

The circle $C_1$ has polar equation

\begin{align*} r=\sqrt3\sin\theta \qquad 0\leqslant\theta\leqslant\pi \end{align*}

The circle $C_2$ has polar equation

\begin{align*} r=3\cos\theta \qquad -\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2} \end{align*}

Circles $C_1$ and $C_2$ intersect at the origin $O$ and at the point $P$ .

(a) Determine the polar coordinates of $P$ .

(2)

The finite region $R$ is bounded by $C_1$ and $C_2$ and is shown shaded in Figure 1.

(b) Use algebraic integration to determine the exact area of $R$ , giving your answer in the form $a\pi+b\sqrt3$ where $a$ and $b$ are simplified rational numbers.

(6)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

完全依赖计算器技术得出的解答不予接受。

图 1 是圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 的示意图。

圆 $C_1$ 的极坐标方程为

\begin{align*} r=&\,\sqrt3\sin\theta, \qquad0\leqslant\theta\leqslant\pi. \end{align*}

圆 $C_2$ 的极坐标方程为

\begin{align*} r=&\,3\cos\theta, \qquad-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2. \end{align*}

圆 $C_1$ 和圆 $C_2$ 交于原点 $O$ 和点 $P$ 。

(a) 求点 $P$ 的极坐标。

(2)

有限区域 $R$ 由 $C_1$ 和 $C_2$ 围成，如图 1 中的阴影部分所示。

(b) 使用代数积分，求 $R$ 的精确面积，答案写成 $a\pi+b\sqrt3$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 是最简有理数。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

交点 $P$ 同时在两条曲线上，所以令两个 $r$ 相等。非原点交点对应 $r\neq0$ ，因此可以解出 $\theta$ ，再代回求 $r$ 。

答题过程

展开

At $P$ ,

\begin{align*} \sqrt3\sin\theta =&\, 3\cos\theta \end{align*}

\begin{align*} \tan\theta =&\, \sqrt3 \end{align*}

In the shown region,

\begin{align*} \theta=\frac{\pi}{3} \end{align*}

Then

\begin{align*} r =&\, \sqrt3\sin\frac{\pi}{3}\\[2mm] =&\, \sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2}\\[2mm] =&\, \frac32 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \boxed{ P=\bigg(\frac32,\frac{\pi}{3}\bigg) } \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

区域 $R$ 分成两段：从 $0$ 到 $\frac{\pi}{3}$ 用 $C_1$ ，从 $\frac{\pi}{3}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 用 $C_2$ 。极坐标面积公式是 $\frac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta$ 。积分时用

\begin{align*} \sin^2\theta=\frac12(1-\cos2\theta), \qquad \cos^2\theta=\frac12(1+\cos2\theta) \end{align*}

答题过程

展开

The area is

\begin{align*} \text{Area} =&\, \frac12\int_0^{\pi/3} (\sqrt3\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+\frac12\int_{\pi/3}^{\pi/2} (3\cos\theta)^2\,\mathrm{d}\theta \end{align*}

For the first part,

\begin{align*} \frac12\int_0^{\pi/3}3\sin^2\theta\,\mathrm{d}\theta =&\, \frac32\int_0^{\pi/3} \frac{1-\cos2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta\\[3mm] =&\, \frac34 \bigg[ \theta-\frac12\sin2\theta \bigg]_0^{\pi/3}\\[3mm] =&\, \frac34 \bigg( \frac{\pi}{3} -\frac12\sin\frac{2\pi}{3} \bigg)\\[3mm] =&\, \frac34 \bigg( \frac{\pi}{3} -\frac{\sqrt3}{4} \bigg)\\[3mm] =&\, \frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt3}{16} \end{align*}

For the second part,

\begin{align*} \frac12\int_{\pi/3}^{\pi/2}9\cos^2\theta\,\mathrm{d}\theta =&\, \frac92\int_{\pi/3}^{\pi/2} \frac{1+\cos2\theta}{2} \,\mathrm{d}\theta\\[3mm] =&\, \frac94 \bigg[ \theta+\frac12\sin2\theta \bigg]_{\pi/3}^{\pi/2}\\[3mm] =&\, \frac94 \bigg[ \frac{\pi}{2} -\bigg( \frac{\pi}{3} +\frac12\sin\frac{2\pi}{3} \bigg) \bigg]\\[3mm] =&\, \frac94 \bigg( \frac{\pi}{6} -\frac{\sqrt3}{4} \bigg)\\[3mm] =&\, \frac{3\pi}{8}-\frac{9\sqrt3}{16} \end{align*}

Add the two areas:

\begin{align*} \text{Area} =&\, \bigg(\frac{\pi}{4}-\frac{3\sqrt3}{16}\bigg) +\bigg(\frac{3\pi}{8}-\frac{9\sqrt3}{16}\bigg)\\[3mm] =&\, \boxed{ \frac{5\pi}{8}-\frac{3\sqrt3}{4} } \end{align*}

FP2 2025 June Q7

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程