题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 2 shows a sketch of the curve $C$ with equation

\begin{align*} y=\frac{15x}{|x|+4} \end{align*}

and the line $l$ with equation $y=x-2$

(a) Use algebra to determine the exact values of $x$ for which

\begin{align*} x-2>\frac{15x}{|x|+4} \end{align*}

(6)

(b) Hence use algebra to determine the exact values of $x$ for which

\begin{align*} |x-2|>\Bigg|\frac{15x}{|x|+4}\Bigg| \end{align*}

(4)

题目中文翻译

本题必须展示所有计算步骤。

完全依赖计算器技术得出的解答不予接受。

图 2 是曲线 $C$ 和直线 $l$ 的示意图，其中曲线 $C$ 的方程为

\begin{align*} y=\frac{15x}{|x|+4}, \end{align*}

直线 $l$ 的方程为 $y=x-2$ 。

(a) 使用代数方法，求满足

\begin{align*} x-2>\frac{15x}{|x|+4} \end{align*}

的 $x$ 的精确取值范围。

(6)

(b) 由此使用代数方法，求满足

\begin{align*} |x-2|>\Bigg|\frac{15x}{|x|+4}\Bigg| \end{align*}

的 $x$ 的精确取值范围。

(4)

解答

(a)

解法一

思路

展开

绝对值在 $x=0$ 处分段。分别处理 $x>0$ 和 $x<0$ ，因为 $|x|+4$ 始终为正，所以分母可以安全乘过去。最后根据每段的条件保留合适区间。

答题过程

展开

For $x>0$ ,

\begin{align*} |x|=x \end{align*}

\begin{align*} x-2 >& \frac{15x}{x+4} \end{align*}

Since $x+4>0$ ,

\begin{align*} (x-2)(x+4) >& 15x\\[2mm] x^2+2x-8 >& 15x\\[2mm] x^2-13x-8 >& 0 \end{align*}

The roots of $x^2-13x-8=0$ are

\begin{align*} x =&\, \frac{13\pm\sqrt{13^2+32}}{2}\\[2mm] =&\, \frac{13\pm\sqrt{201}}{2} \end{align*}

Since $x>0$ , this gives

\begin{align*} x>\frac{13+\sqrt{201}}{2} \end{align*}

For $x<0$ ,

\begin{align*} |x|=-x \end{align*}

\begin{align*} x-2 >& \frac{15x}{-x+4} \end{align*}

Since $-x+4>0$ ,

\begin{align*} (x-2)(-x+4) >& 15x\\[2mm] -x^2+6x-8 >& 15x\\[2mm] x^2+9x+8 <& 0\\[2mm] (x+8)(x+1) <& 0 \end{align*}

Thus

\begin{align*} -8<x<-1 \end{align*}

At $x=0$ , the original inequality becomes $-2>0$ , which is false.

Therefore

\begin{align*} \boxed{ -8<x<-1 \quad \text{or} \quad x>\frac{13+\sqrt{201}}{2} } \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

按 $x<0$ 、 $0\leqslant x<2$ 和 $x\geqslant2$ 分段。当 $x<0$ 时，(a) 中不等式两侧都为负，取绝对值后比较方向相反，因此要选取 (a) 的两个负交点之外的区间。中间一段使用 $|x-2|=2-x$ ，而 $x\geqslant2$ 时可以直接沿用 (a) 的正数部分。

答题过程

展开

Since $|x|+4>0$ , consider three cases.

For $x<0$ , we have $|x-2|=2-x$ and $|15x|=-15x$ . Thus

\begin{align*} 2-x>&\,\frac{-15x}{4-x},\\[3mm] x-2<&\,\frac{15x}{4-x}. \end{align*}

This reverses the comparison in the negative case of part (a). As $4-x>0$ ,

\begin{align*} (x-2)(4-x)<&\,15x,\\[3mm] -x^2+6x-8<&\,15x,\\[3mm] x^2+9x+8>&\,0,\\[3mm] (x+8)(x+1)>&\,0. \end{align*}

Using the same critical values $-8$ and $-1$ , and restricting to $x<0$ , gives

\begin{align*} x<-8\quad\text{or}\quad-1<x<0. \end{align*}

For $0\leqslant x<2$ , we have $|x-2|=2-x$ and $|15x|=15x$ . Hence

\begin{align*} 2-x>&\,\frac{15x}{x+4},\\[3mm] (2-x)(x+4)>&\,15x,\\[3mm] -x^2-2x+8>&\,15x,\\[3mm] x^2+17x-8<&\,0. \end{align*}

The roots of the quadratic are

\begin{align*} x=&\,\frac{-17\pm\sqrt{17^2+32}}2\\[3mm] =&\,\frac{-17\pm\sqrt{321}}2. \end{align*}

The quadratic is negative between its roots. Intersecting with $0\leqslant x<2$ gives

\begin{align*} 0\leqslant x<\frac{-17+\sqrt{321}}2. \end{align*}

For $x\geqslant2$ , the inequality is

\begin{align*} x-2>\frac{15x}{x+4}. \end{align*}

This is the positive case of part (a), giving

\begin{align*} x>\frac{13+\sqrt{201}}2. \end{align*}

Combining the three cases, including $x=0$ in the middle interval, the solution is

\begin{align*} \boxed{\begin{gathered} x<-8\\[3mm] \text{or}\quad-1<x<\frac{-17+\sqrt{321}}2\\[3mm] \text{or}\quad x>\frac{13+\sqrt{201}}2 \end{gathered}}. \end{align*}

FP2 2025 June Q8

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程