题目

Problem

In this question you must show all stages of your working. Solutions relying entirely on calculator technology are not acceptable.

Figure 1 shows a sketch of the curve $C$ with polar equation

\begin{align*} r=1+\sin\theta, \qquad -\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{3\pi}{2} \end{align*}

and a sketch of the curve $D$ with polar equation

\begin{align*} r=1+\cos2\theta, \qquad -\frac{\pi}{2}\leqslant\theta\leqslant\frac{\pi}{2} \end{align*}

The curves intersect at the pole $O$ and at the point $P$ as shown.

(a) Determine the polar coordinates of $P$ .

(3)

The finite region $R$ , shown shaded in Figure 1, is bounded by $C$ and $D$ .

(b) Use algebraic integration to show that the area of $R$ is

\begin{align*} a\pi+b\sqrt3 \end{align*}

where $a$ and $b$ are rational numbers to be determined.

(6)

题目中文翻译

本题必须展示所有解题步骤。不接受完全依赖计算器技术的解答。

图1给出了曲线 $C$ 和 $D$ 的示意图，其极坐标方程分别为

\begin{align*} C:\quad r=1+\sin\theta,\qquad-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac{3\pi}2 \end{align*}

和

\begin{align*} D:\quad r=1+\cos2\theta,\qquad-\frac\pi2\leqslant\theta\leqslant\frac\pi2 \end{align*}

如图所示，两曲线相交于极点 $O$ 和点 $P$ 。

(a) 求 $P$ 的极坐标。

(3)

图1中的有限阴影区域 $R$ 由曲线 $C$ 和 $D$ 围成。

(b) 用代数积分证明区域 $R$ 的面积为 $a\pi+b\sqrt3$ ，并求出有理数 $a$ 和 $b$ 。

(6)

解答

(a)

解法一

思路

展开

交点满足两个 $r$ 相等。题目说除了极点外还有点 $P$ ，所以解出非极点对应的角度和半径。

答题过程

展开

At an intersection,

\begin{align*} 1+\sin\theta=1+\cos2\theta \end{align*}

\begin{align*} \sin\theta =&\, \cos2\theta\\[3mm] \sin\theta =&\, 1-2\sin^2\theta\\[3mm] 2\sin^2\theta+\sin\theta-1 =&\, 0 \end{align*}

Factorising,

\begin{align*} (2\sin\theta-1)(\sin\theta+1)=0 \end{align*}

The solution $\sin\theta=-1$ gives the pole. For point $P$ ,

\begin{align*} \sin\theta=\frac12 \end{align*}

From the diagram, $P$ is in the first quadrant, so

\begin{align*} \theta=\frac{\pi}{6} \end{align*}

Then

\begin{align*} r =&\, 1+\sin\frac{\pi}{6} =&\, \frac32 \end{align*}

Therefore

\begin{align*} P=\Big(\frac32,\frac{\pi}{6}\Big) \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

极坐标面积公式是 $\dfrac12\int r^2\,\mathrm{d}\theta$ 。

这个区域分成两段：从 $-\dfrac{\pi}{2}$ 到 $\dfrac{\pi}{6}$ 用曲线 $C$ ，从 $\dfrac{\pi}{6}$ 到 $\dfrac{\pi}{2}$ 用曲线 $D$ 。

展开平方后用恒等式把 $\sin^2\theta$ 和 $\cos^22\theta$ 降幂。

答题过程

展开

For curve $C$ ,

\begin{align*} (1+\sin\theta)^2 =&\, 1+2\sin\theta+\sin^2\theta\\[3mm] =&\, 1+2\sin\theta+\frac12-\frac12\cos2\theta\\[3mm] =&\, \frac32+2\sin\theta-\frac12\cos2\theta \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int(1+\sin\theta)^2\,\mathrm{d}\theta =&\, \frac32\theta-2\cos\theta-\frac14\sin2\theta \end{align*}

For curve $D$ ,

\begin{align*} (1+\cos2\theta)^2 =&\, 1+2\cos2\theta+\cos^22\theta\\[3mm] =&\, 1+2\cos2\theta+\frac12+\frac12\cos4\theta\\[3mm] =&\, \frac32+2\cos2\theta+\frac12\cos4\theta \end{align*}

Therefore

\begin{align*} \int(1+\cos2\theta)^2\,\mathrm{d}\theta =&\, \frac32\theta+\sin2\theta+\frac18\sin4\theta \end{align*}

So the area of $R$ is

\begin{align*} \text{Area} =&\, \frac12 \Big[ \frac32\theta-2\cos\theta-\frac14\sin2\theta \Big]_{-\pi/2}^{\pi/6}\\[3mm] &\,\hspace{2pt}+ \frac12 \Big[ \frac32\theta+\sin2\theta+\frac18\sin4\theta \Big]_{\pi/6}^{\pi/2} \end{align*}

Evaluate the first part:

\begin{align*} \Big[ \frac32\theta-2\cos\theta-\frac14\sin2\theta \Big]_{-\pi/2}^{\pi/6} =&\, \Big( \frac{\pi}{4}-\sqrt3-\frac{\sqrt3}{8} \Big) -\Big( -\frac{3\pi}{4} \Big)\\[3mm] =&\, \pi-\frac{9\sqrt3}{8} \end{align*}

Evaluate the second part:

\begin{align*} \Big[ \frac32\theta+\sin2\theta+\frac18\sin4\theta \Big]_{\pi/6}^{\pi/2} =&\, \frac{3\pi}{4} -\Big( \frac{\pi}{4}+\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt3}{16} \Big)\\[3mm] =&\, \frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{16} \end{align*}

Hence

\begin{align*} \text{Area} =&\, \frac12 \Big( \pi-\frac{9\sqrt3}{8} \Big) + \frac12 \Big( \frac{\pi}{2}-\frac{9\sqrt3}{16} \Big)\\[3mm] =&\, \frac{3\pi}{4}-\frac{27\sqrt3}{32} \end{align*}

Therefore

\begin{align*} a=\frac34, \qquad b=-\frac{27}{32} \end{align*}

FP2 2026 Jan Q9

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程