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FP3 2020 Oct Q2

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2020 Oct Paper · Question 2

题目

Problem

2.

Determine

(i)

∫13x2+12x+24 dx\int \frac{1}{3x^2 + 12x + 24}\,\mathrm{d}x
(4)

(ii)

∫127−6x−x2 dx.\int \frac{1}{\sqrt{27 - 6x - x^2}}\,\mathrm{d}x.
(4)
题目中文翻译

求下列积分：

(i)

∫13x2+12x+24 dx\int \frac{1}{3x^2 + 12x + 24}\,\mathrm{d}x
(4)

(ii)

∫127−6x−x2 dx\int \frac{1}{\sqrt{27 - 6x - x^2}}\,\mathrm{d}x
(4)

解答

(i)

解法一

思路

展开

先从分母提出 3 并完成平方，把积分化成 ∫1/(u2+a2) du\int 1/(u^2+a^2)\,\mathrm{d}u 的标准反正切形式。需要同时保留提出的 1/31/3 与公式产生的 1/a1/a。

答题过程

展开

Complete the square:

3x2+12x+24= 3(x2+4x+8)= 3((x+2)2+4).\begin{align*} 3x^2+12x+24 =&\,3(x^2+4x+8)\\[4mm] =&\,3\bigl((x+2)^2+4\bigr). \end{align*}

Therefore

∫13x2+12x+24 dx= 13∫1(x+2)2+22 dx= 16arctan⁡ ⁣(x+22)+c.\begin{align*} \int\frac{1}{3x^2+12x+24}\,\mathrm{d}x =&\,\frac13\int \frac{1}{(x+2)^2+2^2}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\frac16 \arctan\!\big(\frac{x+2}{2}\big)+c}. \end{align*}

(ii)

解法一

思路

展开

将根号内的二次式配方为 62−(x+3)26^2-(x+3)^2，即可直接使用 ∫1/a2−u2 du=arcsin⁡(u/a)+c\int 1/\sqrt{a^2-u^2}\,\mathrm{d}u=\arcsin(u/a)+c。

答题过程

展开

Complete the square:

27−6x−x2= 36−(x2+6x+9)= 36−(x+3)2.\begin{align*} 27-6x-x^2 =&\,36-(x^2+6x+9)\\[4mm] =&\,36-(x+3)^2. \end{align*}

Hence

∫127−6x−x2 dx= ∫162−(x+3)2 dx= arcsin⁡ ⁣(x+36)+c.\begin{align*} \int\frac{1}{\sqrt{27-6x-x^2}}\,\mathrm{d}x =&\,\int\frac{1}{\sqrt{6^2-(x+3)^2}}\,\mathrm{d}x\\[4mm] =&\,\boxed{\arcsin\!\big(\frac{x+3}{6}\big)+c}. \end{align*}