平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的方程分别为

平面 $\Pi_1$ 和 $\Pi_2$ 的交线记为 $l$。

(a) 求 $l$ 的向量方程，答案写成 $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b}$ 的形式，其中 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 为常向量，$\lambda$ 为标量参数。

点 $P(2, 0, 3)$ 在 $\Pi_1$ 上。

过 $P$ 且平行于 $l$ 的直线为 $m$。

点 $Q(3, 2, 1)$ 在 $\Pi_2$ 上。

过 $Q$ 且也平行于 $l$ 的直线为 $n$。

(b) 求 $m$ 和 $n$ 的最短距离，并化为最简精确形式。

交线方向同时垂直于两个平面的法向量，因此可由法向量叉积求出。再联立两个平面方程，令一个坐标为零，找交线上的一点。

The normal vectors of the planes are

A direction vector of the line of intersection is

To find a point on the line, set $z=0$. Then

Subtracting three times the first equation from the second gives $13y=-26$, so $y=-2$. Then $x=11+5(-2)=1$. Therefore

直接消去 Cartesian 方程中的变量。把 $z$ 选作参数后，分别用它表示 $x,y$；再适当缩放参数，使方向向量没有分数。

From $\Pi_1$,

Substituting into the equation of $\Pi_2$ gives

so

Hence

Substitution into $x=11+5y-3z$ gives

Let $z=13\lambda$. Then

Therefore

两直线平行且方向向量为 $\mathbf d$。连接两线上给定点的向量为 $\overrightarrow{PQ}$；它在垂直于 $\mathbf d$ 方向上的分量就是两平行线的最短距离，可用 $|\mathbf d\times\overrightarrow{PQ}|/|\mathbf d|$ 求得。

Let

The vector from $P$ to $Q$ is

Now

Therefore the shortest distance is

也可以求连接向量 $\overrightarrow{PQ}$ 与直线方向向量的夹角。最短距离是 $|\overrightarrow{PQ}|\sin\theta$；由点积求 $\cos\theta$，再利用 $\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$。

Let $\theta$ be the angle between $\overrightarrow{PQ}$ and $\mathbf d$. Then

and

Thus

The shortest distance is

两直线平行，因此从 $P$ 向直线 $n$ 作垂线所得的长度就是两线距离。设垂足 $N$ 是 $n$ 上的参数点，利用 $\overrightarrow{PN}$ 与公共方向向量点积为零求参数，再求 $PN$。

Using $\mathbf{d}=(-4,7,13)$, a point $N$ on $n$ has coordinates

Thus $\overrightarrow{PN}=(1-4t,2+7t,-2+13t)$. At the foot of the perpendicular,

For this value,

Hence

也可以把 $P$ 到 $n$ 上任意点的距离平方写成参数的二次函数。最小化距离平方等价于最小化距离；用微分或配方即可求出最小值。

For $N=Q+t\mathbf{d}$, the squared distance from $P$ is

Differentiating gives

Since $f''(t)=468>0$, this is a minimum. Equivalently, completing the square gives

Therefore the shortest distance between the parallel lines is