点 $P$ 的坐标为 $(1,2,1)$。

直线 $l$ 的 Cartesian 方程为

平面 $\Pi_1$ 包含点 $P$ 和直线 $l$。

(a) 证明 $\Pi_1$ 的一个 Cartesian 方程为

点 $Q$ 的坐标为 $(2,k,-7)$，其中 $k$ 为常数。

(b) 证明 $\Pi_1$ 与 $Q$ 之间的最短距离为

平面 $\Pi_2$ 的 Cartesian 方程为 $8x-4y+z=-3$。

已知 $\Pi_1$ 与 $Q$ 之间的最短距离，等于 $\Pi_2$ 与 $Q$ 之间的最短距离，

(c) 求 $k$ 的可能值。

平面包含直线 $l$，因此包含其方向向量；也包含从直线上一点指向 $P$ 的向量。两向量的叉积给出平面的法向量，再代入 $P$ 求常数项。

The line $l$ has direction vector

and contains the point $A=(3,-1,-5)$. Also,

Hence a normal vector to $\Pi_1$ is

Thus the plane has equation

Since $P=(1,2,1)$ lies in the plane,

Therefore

因为待证的平面方程已经给出，也可以分别验证点 $P$ 位于该平面，且直线 $l$ 上的任意点都满足该方程。这样便证明该平面同时包含 $P$ 和整条直线 $l$。

For $P=(1,2,1)$,

so $P$ lies in the stated plane.

Writing the line in parametric form gives

For every $t$,

Thus the whole line $l$ lies in the plane. Since the plane contains both $P$ and $l$, its equation is

不使用叉积也能求法向量。令它为 $(a,b,c)$，分别与平面内两个方向向量作点积，令结果为零，联立后取最简单的整数法向量。

Using the vectors $\mathbf{d}=(5,3,-8)$ and $\overrightarrow{AP}=(-2,3,6)$ from the first method, let $\mathbf{n}=(a,b,c)$ be a normal vector. Then

Subtracting gives $7a-14c=0$, so $a=2c$. Substituting into the first equation gives $3b=-2c$. Taking $c=3$ gives $\mathbf{n}=(6,-2,3)$. The plane through $P=(1,2,1)$ is therefore

which simplifies to $\boxed{6x-2y+3z=5}$.

直接使用点到平面的距离公式。绝对值不可省略，因为 $k$ 未知，代入平面方程所得的带符号量可能为正也可能为负。

The distance from $Q=(2,k,-7)$ to $\Pi_1$ is

点到平面的最短距离，是从平面内一点指向该点的向量在单位法向量上的投影长度。取题目给出的 $P$，把 $\overrightarrow{PQ}$ 与法向量作点积，取绝对值后除以法向量的模。

Since $P=(1,2,1)$ lies on $\Pi_1$,

A normal vector is $\mathbf{n}=(6,-2,3)$, with $|\mathbf{n}|=7$. The shortest distance is the magnitude of the projection of $\overrightarrow{PQ}$ onto the normal:

先求点 $Q$ 到 $\Pi_2$ 的距离，再与 (b) 的结果相等。含绝对值方程应拆成正负两种情形，避免平方后引入或遗漏解。

Writing $\Pi_2$ as $8x-4y+z+3=0$, the distance from $Q$ to $\Pi_2$ is

Equating the two distances gives

so

Therefore either

which gives $k=21$, or

which gives $23k=-21$ and hence $k=-21/23$.

Thus the possible values are