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FP3 2021 June Q1

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2021 June Paper · Question 1

题目

Problem

1.

(a) Using the definitions of hyperbolic functions in terms of exponentials, show that

1−tanh⁡2x≡sech⁡2x.1-\tanh^2x\equiv\operatorname{sech}^2x.
(3)

(b) Solve the equation

2sech⁡2x+3tanh⁡x=3,2\operatorname{sech}^2x+3\tanh x=3,

giving your answer as an exact logarithm.

(3)
题目中文翻译

(a) 使用双曲函数的指数定义，证明

1−tanh⁡2x≡sech⁡2x1-\tanh^2x\equiv\operatorname{sech}^2x
(3)

(b) 解方程

2sech⁡2x+3tanh⁡x=32\operatorname{sech}^2x+3\tanh x=3

并将答案写成精确的对数形式。

(3)

解答

(a)

解法一：通分展开

思路

展开

按题意把 tanh⁡x\tanh x 换成指数形式。对平方后的分式通分，再利用平方差展开分子，结果正好化成 sech⁡2x\operatorname{sech}^2x 的指数形式。

答题过程

展开

Using

tanh⁡x=ex−e−xex+e−x,\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}},

we have

 1−tanh⁡2x= 1−(ex−e−xex+e−x)2= (ex+e−x)2−(ex−e−x)2(ex+e−x)2= (e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)(ex+e−x)2= 4(ex+e−x)2= (2ex+e−x)2= sech⁡2x.\begin{align*} &\,1-\tanh^2x\\ =&\,1-\bigg(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\bigg)^2 \\ =&\,\frac{\begin{gathered}(e^x+e^{-x})^2\\[-1mm]-(e^x-e^{-x})^2\end{gathered}} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{(e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x})} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac4{(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\bigg(\frac2{e^x+e^{-x}}\bigg)^2 \\ =&\,\operatorname{sech}^2x. \end{align*}

Hence

1−tanh⁡2x≡sech⁡2x.\boxed{1-\tanh^2x\equiv\operatorname{sech}^2x}.

解法二：先作平方差因式分解

思路

展开

先写成 (1−tanh⁡x)(1+tanh⁡x)(1-\tanh x)(1+\tanh x)。两个因子分别代入指数定义后，分子会化成 2e−x2e^{-x} 与 2ex2e^x，相乘立即得到常数 44。

答题过程

展开

Using the difference of two squares,

 1−tanh⁡2x= (1−tanh⁡x)(1+tanh⁡x)= (1−ex−e−xex+e−x) ×(1+ex−e−xex+e−x)= 2e−xex+e−x⋅2exex+e−x= 4(ex+e−x)2= sech⁡2x.\begin{align*} &\,1-\tanh^2x\\ =&\,(1-\tanh x)(1+\tanh x) \\ =&\,\bigg( 1-\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \bigg) \\ &\,\times\bigg( 1+\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \bigg) \\ =&\,\frac{2e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \cdot\frac{2e^x}{e^x+e^{-x}} \\ =&\,\frac4{(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\operatorname{sech}^2x. \end{align*}

解法三：从右边出发

思路

展开

也可以从 sech⁡2x\operatorname{sech}^2x 的指数形式开始，把分子 44 写成两个平方之差，再识别出 tanh⁡2x\tanh^2x。

答题过程

展开

First, expanding gives

 (ex+e−x)2−(ex−e−x)2= (e2x+2+e−2x)−(e2x−2+e−2x)= 4.\begin{align*} &\,(e^x+e^{-x})^2-(e^x-e^{-x})^2\\ =&\,(e^{2x}+2+e^{-2x})-(e^{2x}-2+e^{-2x})\\ =&\,4. \end{align*}

Starting from the right-hand side,

 sech⁡2x= 4(ex+e−x)2= (ex+e−x)2−(ex−e−x)2(ex+e−x)2= 1−(ex−e−xex+e−x)2= 1−tanh⁡2x.\begin{align*} &\,\operatorname{sech}^2x\\ =&\,\frac4{(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,\frac{\begin{gathered}(e^x+e^{-x})^2\\[-1mm]-(e^x-e^{-x})^2\end{gathered}} {(e^x+e^{-x})^2} \\ =&\,1-\bigg(\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}\bigg)^2 \\ =&\,1-\tanh^2x. \end{align*}

Therefore,

1−tanh⁡2x≡sech⁡2x.1-\tanh^2x\equiv\operatorname{sech}^2x.

(b)

解法一：使用 (a) 的恒等式

思路

展开

用 (a) 把 sech⁡2x\operatorname{sech}^2x 换成 1−tanh⁡2x1-\tanh^2x，方程便成为关于 tanh⁡x\tanh x 的二次方程。其中 tanh⁡x=1\tanh x=1 对有限实数 xx 不成立，所以只保留另一根，再用指数定义求 xx。

答题过程

展开

Using the identity from part (a),

 2(1−tanh⁡2x)+3tanh⁡x=3, 2tanh⁡2x−3tanh⁡x+1=0, (2tanh⁡x−1)(tanh⁡x−1)=0.\begin{align*} &\,2(1-\tanh^2x)+3\tanh x=3,\\ &\,2\tanh^2x-3\tanh x+1=0,\\ &\,(2\tanh x-1)(\tanh x-1)=0. \end{align*}

For every finite real xx, −1<tanh⁡x<1-1<\tanh x<1, so tanh⁡x=1\tanh x=1 is not possible. Hence

tanh⁡x=12.\tanh x=\frac12.

Using the exponential definition,

e2x−1e2x+1= 12,2e2x−2= e2x+1,e2x= 3.\begin{align*} \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=&\,\frac12, \\ 2e^{2x}-2=&\,e^{2x}+1, \\ e^{2x}=&\,3. \end{align*}

Therefore,

x=12ln⁡3.\boxed{x=\frac12\ln3}.

解法二：完全使用指数形式

思路

展开

也可以不使用 (a)，而是把两个双曲函数直接换成指数形式。令 t=e2x>0t=e^{2x}>0 可缩短式子；清除分母后高次项相消，只留下一个一次方程。

答题过程

展开

Let t=e2xt=e^{2x}, so t>0t>0. Then

tanh⁡x= t−1t+1,sech⁡2x= 4t(t+1)2.\begin{align*} \tanh x=&\,\frac{t-1}{t+1},\\ \operatorname{sech}^2x=&\,\frac{4t}{(t+1)^2}. \end{align*}

The equation becomes

8t(t+1)2+3(t−1)t+1=3.\frac{8t}{(t+1)^2} +\frac{3(t-1)}{t+1}=3.

Since t>0t>0, t+1≠0t+1\ne0, so multiplying by (t+1)2(t+1)^2 is valid:

 8t+3(t−1)(t+1)= 3(t+1)2, 8t+3t2−3= 3t2+6t+3,2t= 6,t= 3.\begin{align*} &\,8t+3(t-1)(t+1)\\ =&\,3(t+1)^2,\\ &\,8t+3t^2-3\\ =&\,3t^2+6t+3,\\ 2t=&\,6,\\ t=&\,3. \end{align*}

Thus e2x=3e^{2x}=3, and hence

x=12ln⁡3.\boxed{x=\frac12\ln3}.