题目

Problem

The matrix $M$ is given by

M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & p \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & p & 2 \end{pmatrix}

where $p$ is a real constant.

(a) Find the exact values of $p$ for which $M$ has no inverse.

(4)

Given that $M$ does have an inverse,

(b) find $M^{-1}$ in terms of $p$ .

(5)

题目中文翻译

矩阵 $M$ 定义为

M = \begin{pmatrix} 3 & 1 & p \\ 1 & 1 & 2 \\ -1 & p & 2 \end{pmatrix}

其中 $p$ 为实常数。

(a) 求使 $M$ 没有逆矩阵的 $p$ 的精确值。

(4)

已知 $M$ 有逆矩阵，

(b) 用 $p$ 表示 $M^{-1}$ 。

(5)

解答

(a)

解法一

思路

展开

矩阵没有逆矩阵当且仅当行列式为零。沿第一行展开 $\det M$ ，化成关于 $p$ 的二次式，再用求根公式得到两个精确值。

答题过程

展开

Expanding the determinant along the first row,

\begin{align*} \det M =&\,3 \begin{vmatrix}1&2\\p&2\end{vmatrix} -\begin{vmatrix}1&2\\-1&2\end{vmatrix} \\ &\,+p \begin{vmatrix}1&1\\-1&p\end{vmatrix} \\ =&\,3(2-2p)-4+p(p+1) \\ =&\,p^2-5p+2. \end{align*}

For $M$ to have no inverse, $\det M=0$ . Thus

\begin{align*} p^2-5p+2=&\,0, \\ p=&\,\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}. \end{align*}

Therefore,

\boxed{p=\frac{5+\sqrt{17}}{2} \quad\text{or}\quad p=\frac{5-\sqrt{17}}{2}}.

(b)

解法一

思路

展开

先求全部余子式，再按棋盘符号得到代数余子式矩阵；将其转置得到伴随矩阵，最后除以 (a) 的行列式。题设已说明 $M$ 可逆，所以分母不为零。

答题过程

展开

Let $m_{ij}$ be the minor obtained by deleting row $i$ and column $j$ . The nine minors are

\begin{align*} m_{11}=&\,1(2)-2p=2-2p,\\ m_{12}=&\,1(2)-2(-1)=4,\\ m_{13}=&\,1(p)-1(-1)=p+1,\\ m_{21}=&\,1(2)-p(p)=2-p^2,\\ m_{22}=&\,3(2)-p(-1)=6+p,\\ m_{23}=&\,3p-1(-1)=3p+1,\\ m_{31}=&\,1(2)-p(1)=2-p,\\ m_{32}=&\,3(2)-p(1)=6-p,\\ m_{33}=&\,3(1)-1(1)=2. \end{align*}

The matrix of minors is

\begin{pmatrix} 2-2p&4&p+1\\ 2-p^2&6+p&3p+1\\ 2-p&6-p&2 \end{pmatrix}.

Therefore, the matrix of cofactors is

\begin{pmatrix} 2-2p&-4&p+1\\ p^2-2&6+p&-3p-1\\ 2-p&p-6&2 \end{pmatrix}.

Hence

\operatorname{adj}M= \begin{pmatrix} 2-2p&p^2-2&2-p\\ -4&6+p&p-6\\ p+1&-3p-1&2 \end{pmatrix}.

Since $M$ is invertible, $p^2-5p+2\ne0$ . Therefore,

\boxed{ M^{-1}=\frac1{p^2-5p+2} \begin{pmatrix} 2-2p&p^2-2&2-p\\ -4&6+p&p-6\\ p+1&-3p-1&2 \end{pmatrix} }.

FP3 2021 June Q3

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程