题目
Problem
4.
The matrix M M M
M = ( 2 0 − 1 k 3 2 − 2 1 k ) M = \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
k & 3 & 2 \\
-2 & 1 & k
\end{pmatrix} M = 2 k − 2 0 3 1 − 1 2 k (a) Show that det M = 5 k − 10 \det M = 5k - 10 det M = 5 k − 10
(2)
Given that k ≠ 2 k \ne 2 k = 2
(b) find M − 1 M^{-1} M − 1 k k k
(4)
The points O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O ( 0 , 0 , 0 ) A ( 4 , − 8 , 3 ) A(4,-8,3) A ( 4 , − 8 , 3 ) B ( − 2 , 5 , − 4 ) B(-2,5,-4) B ( − 2 , 5 , − 4 ) C ( 4 , − 6 , 8 ) C(4,-6,8) C ( 4 , − 6 , 8 ) T T T M M M T T T 50 50 50
(c) Determine the possible values of k k k
(5)
题目中文翻译
4.
矩阵 M M M
M = ( 2 0 − 1 k 3 2 − 2 1 k ) M = \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
k & 3 & 2 \\
-2 & 1 & k
\end{pmatrix} M = 2 k − 2 0 3 1 − 1 2 k (a) 证明 det M = 5 k − 10 \det M = 5k - 10 det M = 5 k − 10
(2)
已知 k ≠ 2 k \ne 2 k = 2
(b) 用 k k k M − 1 M^{-1} M − 1
(4)
点 O ( 0 , 0 , 0 ) O(0,0,0) O ( 0 , 0 , 0 ) A ( 4 , − 8 , 3 ) A(4,-8,3) A ( 4 , − 8 , 3 ) B ( − 2 , 5 , − 4 ) B(-2,5,-4) B ( − 2 , 5 , − 4 ) C ( 4 , − 6 , 8 ) C(4,-6,8) C ( 4 , − 6 , 8 ) T T T M M M T T T 50 50 50
(c) 求 k k k
(5)
解答
(a)
解法一
思路
展开
沿第一行展开行列式。中间的元素为零，因此只需计算两个二阶行列式，再合并同类项即可自然得到题目要求的结果。
答题过程
展开
Expanding along the first row,
det M = 2 ∣ 3 2 1 k ∣ − 0 ∣ k 2 − 2 k ∣ − ∣ k 3 − 2 1 ∣ = 2 ( 3 k − 2 ) − ( k + 6 ) = 5 k − 10 . \begin{align*}
\det M
=&\,2
\begin{vmatrix}
3&2\\
1&k
\end{vmatrix}
-0
\begin{vmatrix}
k&2\\
-2&k
\end{vmatrix} \\
&\,-
\begin{vmatrix}
k&3\\
-2&1
\end{vmatrix} \\
=&\,2(3k-2)-(k+6) \\
=&\,\boxed{5k-10}.
\end{align*} det M = = = 2 3 1 2 k − 0 k − 2 2 k − k − 2 3 1 2 ( 3 k − 2 ) − ( k + 6 ) 5 k − 10 .
(b)
解法一
思路
展开
先逐项求出余子式并组成代数余子式矩阵，再转置得到伴随矩阵。最后除以 (a) 求得的行列式；条件 k ≠ 2 k\ne2 k = 2
答题过程
展开
The cofactors are
C 11 = 3 k − 2 ( 1 ) = 3 k − 2 , C 12 = − ( k 2 − 2 ( − 2 ) ) = − k 2 − 4 , C 13 = k ( 1 ) − 3 ( − 2 ) = k + 6 , C 21 = − ( 0 ( k ) − ( − 1 ) ( 1 ) ) = − 1 , C 22 = 2 k − ( − 1 ) ( − 2 ) = 2 k − 2 , C 23 = − ( 2 ( 1 ) − 0 ( − 2 ) ) = − 2 , C 31 = 0 ( 2 ) − ( − 1 ) ( 3 ) = 3 , C 32 = − ( 2 ( 2 ) − ( − 1 ) k ) = − k − 4 , C 33 = 2 ( 3 ) − 0 ( k ) = 6. \begin{align*}
C_{11}=&\,3k-2(1)=3k-2, \\
C_{12}=&\,-\bigl(k^2-2(-2)\bigr)=-k^2-4, \\
C_{13}=&\,k(1)-3(-2)=k+6, \\
C_{21}=&\,-\bigl(0(k)-(-1)(1)\bigr)=-1, \\
C_{22}=&\,2k-(-1)(-2)=2k-2, \\
C_{23}=&\,-\bigl(2(1)-0(-2)\bigr)=-2, \\
C_{31}=&\,0(2)-(-1)(3)=3, \\
C_{32}=&\,-\bigl(2(2)-(-1)k\bigr)=-k-4, \\
C_{33}=&\,2(3)-0(k)=6.
\end{align*} C 11 = C 12 = C 13 = C 21 = C 22 = C 23 = C 31 = C 32 = C 33 = 3 k − 2 ( 1 ) = 3 k − 2 , − ( k 2 − 2 ( − 2 ) ) = − k 2 − 4 , k ( 1 ) − 3 ( − 2 ) = k + 6 , − ( 0 ( k ) − ( − 1 ) ( 1 ) ) = − 1 , 2 k − ( − 1 ) ( − 2 ) = 2 k − 2 , − ( 2 ( 1 ) − 0 ( − 2 ) ) = − 2 , 0 ( 2 ) − ( − 1 ) ( 3 ) = 3 , − ( 2 ( 2 ) − ( − 1 ) k ) = − k − 4 , 2 ( 3 ) − 0 ( k ) = 6. Thus the matrix of cofactors of M M M
( 3 k − 2 − k 2 − 4 k + 6 − 1 2 k − 2 − 2 3 − k − 4 6 ) . \begin{pmatrix}
3k-2&-k^2-4&k+6\\
-1&2k-2&-2\\
3&-k-4&6
\end{pmatrix}. 3 k − 2 − 1 3 − k 2 − 4 2 k − 2 − k − 4 k + 6 − 2 6 . Hence
adj M = ( 3 k − 2 − 1 3 − k 2 − 4 2 k − 2 − k − 4 k + 6 − 2 6 ) . \operatorname{adj}M=
\begin{pmatrix}
3k-2&-1&3\\
-k^2-4&2k-2&-k-4\\
k+6&-2&6
\end{pmatrix}. adj M = 3 k − 2 − k 2 − 4 k + 6 − 1 2 k − 2 − 2 3 − k − 4 6 . Since k ≠ 2 k\ne2 k = 2 det M = 5 k − 10 ≠ 0 \det M=5k-10\ne0 det M = 5 k − 10 = 0
M − 1 = 1 5 k − 10 ( 3 k − 2 − 1 3 − k 2 − 4 2 k − 2 − k − 4 k + 6 − 2 6 ) . \boxed{
M^{-1}=\frac1{5k-10}
\begin{pmatrix}
3k-2&-1&3\\
-k^2-4&2k-2&-k-4\\
k+6&-2&6
\end{pmatrix}
}. M − 1 = 5 k − 10 1 3 k − 2 − k 2 − 4 k + 6 − 1 2 k − 2 − 2 3 − k − 4 6 .
(c)
解法一：求变换后四面体的体积
思路
展开
先用 M M M A , B , C A,B,C A , B , C O O O k k k
答题过程
展开
The images of the three position vectors are
M O A → = ( 5 4 k − 18 3 k − 16 ) , M O B → = ( 0 7 − 2 k 9 − 4 k ) , M O C → = ( 0 4 k − 2 8 k − 14 ) . \begin{align*}
M\overrightarrow{OA}
=&\,
\begin{pmatrix}
5\\
4k-18\\
3k-16
\end{pmatrix}, \\
M\overrightarrow{OB}
=&\,
\begin{pmatrix}
0\\
7-2k\\
9-4k
\end{pmatrix}, \\
M\overrightarrow{OC}
=&\,
\begin{pmatrix}
0\\
4k-2\\
8k-14
\end{pmatrix}.
\end{align*} M O A = M O B = M O C = 5 4 k − 18 3 k − 16 , 0 7 − 2 k 9 − 4 k , 0 4 k − 2 8 k − 14 . Therefore, the volume of the image is
50 = 1 6 ∣ ∣ 5 4 k − 18 3 k − 16 0 7 − 2 k 9 − 4 k 0 4 k − 2 8 k − 14 ∣ ∣ = 1 6 ∣ 5 [ ( 7 − 2 k ) ( 8 k − 14 ) − ( 9 − 4 k ) ( 4 k − 2 ) ] ∣ = 1 6 ∣ 5 [ ( − 16 k 2 + 84 k − 98 ) − ( − 16 k 2 + 44 k − 18 ) ] ∣ = 1 6 ∣ 200 k − 400 ∣ . \begin{align*}
50
=&\,\frac16\Bigg|
\begin{vmatrix}
5&4k-18&3k-16\\
0&7-2k&9-4k\\
0&4k-2&8k-14
\end{vmatrix}
\Bigg| \\
=&\,\frac16\bigg|5\bigl[(7-2k)(8k-14) \\
&\,\hspace{2pt}-(9-4k)(4k-2)\bigr]\bigg| \\
=&\,\frac16\bigg|5\bigl[(-16k^2+84k-98) \\
&\,\hspace{2pt}-(-16k^2+44k-18)\bigr]\bigg| \\
=&\,\frac16\big|200k-400\big|.
\end{align*} 50 = = = = 6 1 5 0 0 4 k − 18 7 − 2 k 4 k − 2 3 k − 16 9 − 4 k 8 k − 14 6 1 5 [ ( 7 − 2 k ) ( 8 k − 14 ) − ( 9 − 4 k ) ( 4 k − 2 ) ] 6 1 5 [ ( − 16 k 2 + 84 k − 98 ) − ( − 16 k 2 + 44 k − 18 ) ] 6 1 200 k − 400 . Thus
∣ 200 k − 400 ∣ = 300 , 200 k − 400 = ± 300. \begin{align*}
|200k-400|=&\,300, \\
200k-400=&\,\pm300.
\end{align*} ∣200 k − 400∣ = 200 k − 400 = 300 , ± 300. Hence
k = 1 2 or k = 7 2 . \boxed{k=\frac12\quad\text{or}\quad k=\frac72}. k = 2 1 or k = 2 7 .
解法二：使用体积比例因子
思路
展开
先用原来的三个棱向量求 T T T ∣ det M ∣ |\det M| ∣ det M ∣
答题过程
展开
The volume of T T T
V T = 1 6 ∣ ∣ 4 − 8 3 − 2 5 − 4 4 − 6 8 ∣ ∣ = 1 6 ∣ 4 ( 40 − 24 ) + 8 ( − 16 + 16 ) + 3 ( 12 − 20 ) ∣ = 1 6 ∣ 40 ∣ = 20 3 . \begin{align*}
V_T
=&\,\frac16\Bigg|
\begin{vmatrix}
4&-8&3\\
-2&5&-4\\
4&-6&8
\end{vmatrix}
\Bigg| \\
=&\,\frac16\bigg|4(40-24)+8(-16+16) \\
&\,\hspace{2pt}+3(12-20)\bigg| \\
=&\,\frac16|40| \\
=&\,\frac{20}{3}.
\end{align*} V T = = = = 6 1 4 − 2 4 − 8 5 − 6 3 − 4 8 6 1 4 ( 40 − 24 ) + 8 ( − 16 + 16 ) + 3 ( 12 − 20 ) 6 1 ∣40∣ 3 20 . Under the transformation, the volume scale factor is
∣ det M ∣ = ∣ 5 k − 10 ∣ |\det M|=|5k-10| ∣ det M ∣ = ∣5 k − 10∣
20 3 ∣ 5 k − 10 ∣ = 50 , ∣ 5 k − 10 ∣ = 15 2 , 5 k − 10 = ± 15 2 . \begin{align*}
\frac{20}{3}|5k-10|=&\,50, \\
|5k-10|=&\,\frac{15}{2}, \\
5k-10=&\,\pm\frac{15}{2}.
\end{align*} 3 20 ∣5 k − 10∣ = ∣5 k − 10∣ = 5 k − 10 = 50 , 2 15 , ± 2 15 . Therefore,
k = 1 2 or k = 7 2 . \boxed{k=\frac12\quad\text{or}\quad k=\frac72}. k = 2 1 or k = 2 7 . 