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FP3 2021 Oct Q5

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2021 Oct Paper · Question 5

题目

Problem

5.

The skew lines l1l_1 and l2l_2 have equations

l1:r=(i+2j−5k)+λ(5i+j)l_1 : \mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) + \lambda(5\mathbf{i} + \mathbf{j})

and

l2:r=(2i−4j+4k)+μ(8i−2j+3k)l_2 : \mathbf{r} = (2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + \mu(8\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})

where λ\lambda and μ\mu are scalar parameters.

(a) Determine a vector that is perpendicular to both l1l_1 and l2l_2.

(2)

(b) Determine an equation of the plane parallel to l1l_1 that contains l2l_2

 (i) in the form r=a+sb+tc\mathbf{r}=\mathbf{a}+s\mathbf{b}+t\mathbf{c},

(1)

 (ii) in the form r⋅n=p\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}=p.

(2)

(c) Determine the shortest distance between l1l_1 and l2l_2.

Give your answer in simplest form.

(5)
题目中文翻译

5.

异面直线 l1l_1 和 l2l_2 的方程为

l1:r=(i+2j−5k)+λ(5i+j)l_1 : \mathbf{r} = (\mathbf{i} + 2\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) + \lambda(5\mathbf{i} + \mathbf{j})

以及

l2:r=(2i−4j+4k)+μ(8i−2j+3k)l_2 : \mathbf{r} = (2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} + 4\mathbf{k}) + \mu(8\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k})

其中 λ\lambda 和 μ\mu 为标量参数。

(a) 求一个同时垂直于 l1l_1 和 l2l_2 的向量。

(2)

(b) 求包含 l2l_2 且与 l1l_1 平行的平面方程：

 (i) 写成 r=a+sb+tc\mathbf{r}=\mathbf{a}+s\mathbf{b}+t\mathbf{c} 的形式；

(1)

 (ii) 写成 r⋅n=p\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}=p 的形式。

(2)

(c) 求 l1l_1 和 l2l_2 的最短距离。

答案写成最简形式。

(5)

解答

(a)

解法一：使用向量积

思路

展开

同时垂直于两条直线的向量，必须垂直于它们的方向向量。因此直接计算两个方向向量的向量积，再把结果约成较简单的非零倍数。

答题过程

展开

The direction vectors of l1l_1 and l2l_2 are

d1=(510),d2=(8−23).\mathbf{d}_1= \begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{d}_2= \begin{pmatrix}8\\-2\\3\end{pmatrix}.

Thus

d1×d2= ∣ijk5108−23∣= (1(3)−0(−2))i +(0(8)−5(3))j +(5(−2)−1(8))k= 3i−15j−18k.\begin{align*} \mathbf{d}_1\times\mathbf{d}_2 =&\, \begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ 5&1&0\\ 8&-2&3 \end{vmatrix} \\ =&\,\bigl(1(3)-0(-2)\bigr)\mathbf{i} \\ &\,+\bigl(0(8)-5(3)\bigr)\mathbf{j} \\ &\,+\bigl(5(-2)-1(8)\bigr)\mathbf{k} \\ =&\,3\mathbf{i}-15\mathbf{j}-18\mathbf{k}. \end{align*}

Therefore, one suitable vector is

n=i−5j−6k.\boxed{\mathbf{n}=\mathbf{i}-5\mathbf{j}-6\mathbf{k}}.

解法二：使用点积联立

思路

展开

设所求向量为 (u,v,w)(u,v,w)，分别与两条直线的方向向量作点积并令其为零。所得两个方程只决定方向，可选一个方便的非零分量，再求出其余分量。

答题过程

展开

Let n=(u,v,w)\mathbf n=(u,v,w). Perpendicularity to both lines gives

5u+v= 0,8u−2v+3w= 0.\begin{align*} 5u+v=&\,0, \\ 8u-2v+3w=&\,0. \end{align*}

The first equation gives v=−5uv=-5u. Substituting into the second,

8u+10u+3w=0⟹w=−6u.8u+10u+3w=0 \quad\Longrightarrow\quad w=-6u.

Taking u=1u=1 gives a non-zero vector perpendicular to both lines:

n=i−5j−6k.\boxed{\mathbf n=\mathbf i-5\mathbf j-6\mathbf k}.

(b)(i)

解法一

思路

展开

所求平面包含 l2l_2，所以可取 l2l_2 上的点作为平面的位置向量，并取 l2l_2 的方向向量作为第一个平面方向。平面还与 l1l_1 平行，因此 l1l_1 的方向向量可作为第二个平面方向。

答题过程

展开

A vector equation of the plane is

r= (2−44)+s(8−23) +t(510).\begin{align*} \mathbf{r}=&\, \begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix} +s\begin{pmatrix}8\\-2\\3\end{pmatrix} \\ &\,+t\begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}. \end{align*}

(b)(ii)

解法一

思路

展开

(a) 的向量同时垂直于平面内的两个方向，因此就是平面的法向量。把 l2l_2 上的已知点代入 r⋅n=p\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}=p 求出常数 pp。

答题过程

展开

Using n=i−5j−6k\mathbf{n}=\mathbf{i}-5\mathbf{j}-6\mathbf{k} and the point (2,−4,4)(2,-4,4),

p= (2−44)⋅(1−5−6)= 2+20−24= −2.\begin{align*} p =&\, \begin{pmatrix}2\\-4\\4\end{pmatrix} \boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix}1\\-5\\-6\end{pmatrix} \\ =&\,2+20-24 \\ =&\,-2. \end{align*}

Hence the equation of the plane is

r⋅(i−5j−6k)=−2.\boxed{ \mathbf{r}\boldsymbol{\cdot} (\mathbf{i}-5\mathbf{j}-6\mathbf{k})=-2 }.

(c)

解法一：投影到公垂直方向

思路

展开

任取两条直线上的点，以连接这两点的向量在公垂直向量上的投影长度，便是两条异面直线的最短距离。

答题过程

展开

Take

A=(1,2,−5)∈l1,B=(2,−4,4)∈l2.A=(1,2,-5)\in l_1, \qquad B=(2,-4,4)\in l_2.

Then

AB→=(1−69).\overrightarrow{AB}= \begin{pmatrix}1\\-6\\9\end{pmatrix}.

Using the common perpendicular vector n=(1,−5,−6)\mathbf{n}=(1,-5,-6), the shortest distance is

d= ∣AB→⋅n∣∣n∣= ∣1+30−54∣12+(−5)2+(−6)2= 2362= 236262.\begin{align*} d =&\,\frac{ \big|\overrightarrow{AB}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}\big| }{|\mathbf{n}|} \\ =&\,\frac{|1+30-54|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-6)^2}} \\ =&\,\frac{23}{\sqrt{62}} \\ =&\,\boxed{\frac{23\sqrt{62}}{62}}. \end{align*}

解法二：求两个平行平面之间的距离

思路

展开

(b) 已得到包含 l2l_2 的平面。再作一个法向量相同、包含 l1l_1 的平面；由于两个平面分别包含两条直线，且平面法向量是两直线的公垂直方向，两平面之间的距离就是两异面直线的最短距离。

答题过程

展开

The plane containing l2l_2 is

r⋅n=−2,n=(1,−5,−6).\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}=-2, \qquad \mathbf{n}=(1,-5,-6).

For the parallel plane containing l1l_1, use the point (1,2,−5)(1,2,-5):

(12−5)⋅(1−5−6)= 1−10+30= 21.\begin{align*} \begin{pmatrix}1\\2\\-5\end{pmatrix} \boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix}1\\-5\\-6\end{pmatrix} =&\,1-10+30 \\ =&\,21. \end{align*}

Thus the second plane is r⋅n=21\mathbf{r}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{n}=21. Therefore,

d= ∣21−(−2)∣12+(−5)2+(−6)2= 2362= 236262.\begin{align*} d =&\,\frac{|21-(-2)|}{\sqrt{1^2+(-5)^2+(-6)^2}} \\ =&\,\frac{23}{\sqrt{62}} \\ =&\,\boxed{\frac{23\sqrt{62}}{62}}. \end{align*}

解法三：求最近点

思路

展开

取两条直线上的一般点。最近点之间的连接向量必须同时垂直于两条直线的方向向量，因此可建立两个点积为零的方程，求出两个参数，再计算连接向量的模。

答题过程

展开

Let PP be the point on l1l_1 with parameter λ\lambda, and let QQ be the point on l2l_2 with parameter μ\mu. Then

PQ→=(1+8μ−5λ−6−2μ−λ9+3μ).\overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} 1+8\mu-5\lambda\\ -6-2\mu-\lambda\\ 9+3\mu \end{pmatrix}.

For PQPQ to be the common perpendicular,

PQ→⋅(510)=0\overrightarrow{PQ}\boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix}5\\1\\0\end{pmatrix}=0

and

PQ→⋅(8−23)=0.\overrightarrow{PQ}\boldsymbol{\cdot} \begin{pmatrix}8\\-2\\3\end{pmatrix}=0.

These give

38μ−26λ= 1,77μ−38λ= −47.\begin{align*} 38\mu-26\lambda=&\,1, \\ 77\mu-38\lambda=&\,-47. \end{align*}

Multiply the first equation by 1919 and the second by 1313:

722μ−494λ= 19,1001μ−494λ= −611.\begin{align*} 722\mu-494\lambda=&\,19, \\ 1001\mu-494\lambda=&\,-611. \end{align*}

Subtracting gives 279μ=−630279\mu=-630, so μ=−7031\mu=-\frac{70}{31}. Then

λ=38μ−126=−2660/31−126=−20762.\lambda=\frac{38\mu-1}{26} =\frac{-2660/31-1}{26} =-\frac{207}{62}.

Thus

λ=−20762,μ=−7031.\lambda=-\frac{207}{62}, \qquad \mu=-\frac{70}{31}.

Hence

PQ→=(−23/62115/6269/31).\overrightarrow{PQ}= \begin{pmatrix} -23/62\\ 115/62\\ 69/31 \end{pmatrix}.

Therefore,

d= ∣PQ→∣= 162(−23)2+1152+1382= 2362= 236262.\begin{align*} d =&\,|\overrightarrow{PQ}| \\ =&\,\frac1{62} \sqrt{(-23)^2+115^2+138^2} \\ =&\,\frac{23}{\sqrt{62}} \\ =&\,\boxed{\frac{23\sqrt{62}}{62}}. \end{align*}