双曲线 $H$ 的方程为

其中 $a$ 为正常数。

$H$ 的离心率为 $e$。

(a) 求 $e^2$ 关于 $a$ 的表达式。

直线 $l$ 是 $H$ 在 $x>0$ 时对应的准线。 点 $A$ 和 $A'$ 是 $l$ 与 $H$ 的渐近线的交点。

(b) 用 $e$ 表示线段 $AA'$ 的长度。

点 $F$ 是 $H$ 在 $x<0$ 时对应的焦点。 已知三角形 $AFA'$ 的面积为 $\frac{164}{3}$，

(c) 证明 $a$ 满足方程

(d) 因此，利用代数并写清推理，证明 $a$ 的唯一可能值为

对标准双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，有 $b^2=a^2(e^2-1)$。本题 $b=5$，代入后整理即可。

For a hyperbola,

Since $b=5$,

Therefore,

正半轴一侧的准线为 $x=\frac{a}{e}$，两条渐近线为 $y=\pm\frac{5}{a}x$。将准线的 $x$ 坐标代入渐近线，求出 $A,A'$ 的纵坐标，再取两者之差。

The directrix for which $x>0$ is

and the asymptotes are

At $x=\frac{a}{e}$,

Hence

以竖直线段 $AA'$ 为底，底长由 (b) 得到；左焦点为 $F=(-ae,0)$，它到右准线 $x=\frac{a}{e}$ 的水平距离就是高。列出三角形面积后，用 (a) 的 $e^2$ 消去 $e$，再整理成题目指定的三次方程。

The focus for which $x<0$ is

The perpendicular distance from $F$ to the directrix $x=\frac{a}{e}$ is

Using $AA'=\frac{10}{e}$, the area condition gives

From part (a),

Therefore,

Thus $a$ is a solution of

承接 (c) 的三次方程，把已知候选根 $\frac{20}{3}$ 对应的因式 $3a-20$ 提出。剩余二次因式的判别式为负，因此没有其他实根，更不可能有其他正实根。

The equation from part (c) factorises as

For the quadratic factor, the discriminant is

Hence $10a^2+12a+205$ has no real roots. Since $a$ is real and positive, the only possible root comes from $3a-20=0$. Therefore,

官方评分资料也允许用导数排除其他根。先代入确认 $\frac{20}{3}$ 是根，再证明 (c) 左边对应的三次函数在整个实数范围内严格递增；严格递增函数至多有一个零点。

Let

Substitution gives

Also,

for every real $a$. Thus $f$ is strictly increasing and can have at most one real root. Consequently, the only possible value is