1.

(a) 利用指数形式的双曲函数定义证明

其中 $p$ 和 $q$ 为待定常数。

(b) 因此，或者用其他方法，求解方程

答案需写成精确化简后的自然对数形式。

按照题目要求使用双曲余弦的指数定义，展开四次方后，把首尾两项以及中间成对的指数项分别重新合并成 $\cosh 4x$ 和 $\cosh 2x$。

Using the exponential definition of $\cosh x$,

Therefore,

由 (a) 把 $\cosh 4x$ 改写成含 $\cosh^4x$ 与 $\cosh 2x$ 的式子，再用 $\cosh 2x=2\cosh^2x-1$，得到关于 $\cosh^2x$ 的二次方程。最后利用 $\cosh^2x\ge1$ 排除不合适的根。

From part (a),

Hence the equation becomes

Let $u=\cosh^2x$. Then

so

Since $\cosh^2x\ge1$ for real $x$, the second root is inadmissible. Also $\cosh x>0$, so

Using $\operatorname{arcosh}k=\ln\bigl(k+\sqrt{k^2-1}\bigr)$ for $k>1$,

直接使用倍角公式 $\cosh 4x=2\cosh^2 2x-1$，把原方程化成关于 $\cosh 2x$ 的二次方程。由 $\cosh 2x\ge1$ 筛选根后，再用反双曲余弦的对数形式求 $x$。

Using $\cosh 4x=2\cosh^2 2x-1$,

Let $v=\cosh 2x$. Then

Since $v=\cosh 2x\ge1$, $v=\frac12$ is inadmissible. Therefore,

Hence

and so

把两个双曲余弦都写成指数形式，并令 $u=e^{2x}>0$。所得四次方程具有回文系数，可以因式分解成两个二次因式；筛去没有实根的因式后取自然对数。

Using the exponential definitions and multiplying by $2e^{4x}$ gives

Let $u=e^{2x}$, where $u>0$. Then

The equation $u^2-u+1=0$ has no real roots. Thus

which gives

These two positive values are reciprocals. Therefore,

and hence