5.

求下列积分：

(i)

(ii)

先对二次式配方，把根式化成 $\sqrt{u^2+a^2}$ 的标准结构，再使用 $\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u=\operatorname{arsinh}u+C$。

Completing the square,

Let

Then

在相同的配方基础上，使用 $\operatorname{arsinh}u=\ln\bigl(u+\sqrt{u^2+1}\bigr)$，即可把所得答案改写成纯对数形式。

Using

the answer from the first method becomes

Here $C_1=C-\ln\sqrt{11}$ is an arbitrary constant. Renaming it $C$, an equivalent answer is

先配方得到 $64-(2x-1)^2$，再令 $u=\frac{2x-1}{8}$，把积分化成 $\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\,\mathrm{d}u$ 的标准反正弦形式。

Completing the square,

Let

Therefore,