直线 $l_1$ 的方程为

平面 $\Pi$ 的方程为

直线 $l_1$ 与平面 $\Pi$ 交于点 $P$

(a) 求 $P$ 的坐标

$l_1$ 与 $\Pi$ 的锐角为 $\theta$ 度。

(b) 求 $\theta$ 的值，精确到一位小数。

直线 $l_2$ 位于 $\Pi$ 内并经过 $P$

已知 $l_1$ 与 $l_2$ 的锐角也为 $\theta$ 度，

(c) 求 $l_2$ 的向量方程

把直线改写成参数式，再将参数坐标代入平面方程。解出交点对应的参数后，代回直线即可得到 $P$。

A parametric equation of $l_1$ is

Thus a general point on $l_1$ is

Substituting into the equation of $\Pi$,

Hence $\lambda=3$, giving

直线与平面的夹角，等于直线方向向量与平面法向量夹角的余角。因此可直接使用公式 $\sin\theta=\frac{|\mathbf d\cdot\mathbf n|}{|\mathbf d||\mathbf n|}$。

A direction vector of $l_1$ and a normal vector to $\Pi$ are

Their scalar product is

Therefore,

Hence

to one decimal place.

先用叉积求方向向量与法向量之间的锐角 $\alpha$。因为直线与平面的夹角是其余角，所以最后取 $\theta=90^\circ-\alpha$。

Using the same vectors,

If $\alpha$ is the acute angle between $\mathbf d$ and $\mathbf n$, then

This gives $\alpha\approx79.403^\circ$. Therefore,

to one decimal place.

$l_2$ 的方向是 $l_1$ 方向在平面 $\Pi$ 上的正射影。先求一个同时垂直于平面法向量和 $l_1$ 方向的向量，再将它与法向量作叉积，就得到位于平面内的投影方向。

Let

Then

A direction vector of $l_2$ is perpendicular to both $\mathbf a$ and $\mathbf n$. Hence

Since $l_2$ passes through $P=(15,-1,25)$, a vector equation is

在 $l_1$ 上另取一点 $A$，沿平面法向量作直线并求其与平面的交点 $B$。由于 $P$ 已在平面上，$PB$ 就是 $l_1$ 一段方向的正射影，因此其方向与所求 $l_2$ 相同。

Taking $\lambda=1$ on $l_1$ gives

The line through $A$ normal to $\Pi$ is

At its intersection $B$ with $\Pi$,

Thus $t=-\frac23$, so

Therefore,

Hence