题目

Problem

Given that

y=3x\arcsin(2x)\qquad 0\le x\le \frac12

(a) determine an expression for $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

(2)

(b) Hence determine the exact value of $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ when $x=\frac14$ , giving your answer in the form $a\pi+b$ where $a$ and $b$ are fully simplified constants to be found.

(1)

题目中文翻译

已知

y=3x\arcsin(2x)\qquad 0\le x\le \frac12

(a) 求 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的表达式

(2)

(b) 因此求当 $x=\frac14$ 时 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$ 的精确值，答案写成 $a\pi+b$ 的形式，其中 $a$ 和 $b$ 为待定且已化简的常数。

(1)

解答

(a)

解法一

思路

展开

对 $3x\arcsin(2x)$ 使用乘积法则，并对 $\arcsin(2x)$ 使用链式法则。内层函数 $2x$ 求导后会产生因子 2。

答题过程

展开

Using the product rule and the chain rule,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,3\arcsin(2x) +3x\cdot\frac{2}{\sqrt{1-(2x)^2}} \\ =&\,\boxed{ 3\arcsin(2x)+\frac{6x}{\sqrt{1-4x^2}} }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

必须承接 (a) 的导数表达式，代入 $x=\frac14$ 。使用 $\arcsin\frac12=\frac\pi6$ ，并把根式项准确化简。

答题过程

展开

Using the result from part (a), when $x=\frac14$ ,

\begin{align*} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =&\,3\arcsin\biggl(\frac12\biggr) \\ &\,+\frac{6(1/4)}{\sqrt{1-4(1/4)^2}} \\ =&\,3\cdot\frac\pi6 +\frac{3/2}{\sqrt{3/4}} \\ =&\,\frac\pi2+\sqrt3. \end{align*}

Therefore,

\boxed{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =\frac\pi2+\sqrt3 }.

Thus $a=\frac12$ and $b=\sqrt3$ .

FP3 2023 Jan Q1

题目

解答

(a)

解法一

思路

答题过程

(b)

解法一

思路

答题过程