双曲线 $H$ 的方程为

其中 $a$ 为正实数。

直线 $x=\frac43$ 是 $H$ 的一条准线。

(a) 写出另一条准线的方程。

(b) 求

(i) $a$ 的值

(ii) $H$ 的两个焦点坐标

这条双曲线关于 $y$ 轴对称，因此两条准线也关于 $y$ 轴对称。已知一条为 $x=\frac43$，另一条只需改变常数的符号。

The other directrix is

横轴双曲线的准线为 $x=\pm\frac ae$，同时满足 $b^2=a^2(e^2-1)$。由已知准线把 $e$ 表示成 $a$，代入第二个关系，解关于 $a^2$ 的二次方程；再由 $c=ae$ 求焦点。

For the hyperbola,

so

Also, since $b^2=5$,

Therefore,

Since $a$ is positive, $a^2=4$ and hence

Now

so the focal distance is

Thus the foci are

令焦点为 $(\pm c,0)$。利用 $e=\frac ca$，可把准线距离写成 $\frac ae=\frac{a^2}{c}$；再结合 $c^2=a^2+b^2$，直接建立只含 $c$ 的方程。先求焦点后，再反求 $a$。

Let the foci be $(\pm c,0)$. Since $e=c/a$,

Hence

Also,

Substituting for $a^2$,

Since $c$ is a distance, $c>0$, so $c=3$. Therefore, the foci are

Finally,

As $a>0$,