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IAL 2023 Jan FP3 Q4

A Level / Edexcel / FP3

IAL 2023 Jan Paper · Question 4

题目

Problem

(a) Determine

∫19x2+16 dx\int \frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,dx

(b) Hence determine the exact value of

∫−2219x2+16 dx\int_{-2}^{2}\frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,dx

Give your answer in the form aln⁡(b+c13)a\ln(b+c\sqrt{13}), where aa, bb and cc are rational numbers.

(5)
题目中文翻译

(a) 求

∫19x2+16 dx\int \frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,dx

(b) 因此求

∫−2219x2+16 dx\int_{-2}^{2}\frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,dx

答案写成 aln⁡(b+c13)a\ln(b+c\sqrt{13}) 的形式，其中 aa、bb 和 cc 为有理数。

解答

(a)

解法一：反双曲正弦形式

思路

展开

先提出常数 16，并令 u=3x4u=\frac{3x}{4}，把积分化成标准形式 ∫11+u2 du\int\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u，其原函数为 arsinh⁡u\operatorname{arsinh}u。

答题过程

展开

Let

u=3x4,dx=43 du.u=\frac{3x}{4}, \qquad \mathrm{d}x=\frac43\,\mathrm{d}u.

Then

∫19x2+16 dx= ∫141+u2⋅43 du= 13∫11+u2 du= 13arsinh⁡(3x4)+C.\begin{align*} \int\frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,\mathrm{d}x =&\,\int\frac{1}{4\sqrt{1+u^2}} \cdot\frac43\,\mathrm{d}u \\ =&\,\frac13\int \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\,\mathrm{d}u \\ =&\,\boxed{ \frac13\operatorname{arsinh}\biggl(\frac{3x}{4}\biggr)+C }. \end{align*}

解法二：对数形式

思路

展开

使用标准结果 ∫1x2+a2 dx=ln⁡(x+x2+a2)+C\int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\bigl(x+\sqrt{x^2+a^2}\bigr)+C。先把根式中的 9 提出，再化简对数；相差的正常数只会并入积分常数。

答题过程

展开

We have

∫19x2+16 dx= 13∫1x2+16/9 dx= 13ln⁡(x+x2+169)+C= 13ln⁡(3x+9x2+16)+C.\begin{align*} \int\frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,\mathrm{d}x =&\,\frac13\int \frac{1}{\sqrt{x^2+16/9}}\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac13\ln\biggl( x+\sqrt{x^2+\frac{16}{9}} \biggr)+C \\ =&\,\boxed{ \frac13\ln\bigl(3x+\sqrt{9x^2+16}\bigr)+C }. \end{align*}

(b)

解法一

思路

展开

被积函数是偶函数，所以先把对称区间积分化成两倍的 00 到 22 积分。然后承接 (a) 的反双曲正弦形式，并用 arsinh⁡t=ln⁡(t+t2+1)\operatorname{arsinh}t=\ln\bigl(t+\sqrt{t^2+1}\bigr) 化成题目指定的对数形式。

答题过程

展开

The integrand is even. Using the result from part (a),

∫−2219x2+16 dx= 2∫0219x2+16 dx= 23[arsinh⁡(3x4)]02= 23arsinh⁡(32).\begin{align*} \int_{-2}^{2} \frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,\mathrm{d}x =&\,2\int_0^2 \frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,\mathrm{d}x \\ =&\,\frac23 \biggl[ \operatorname{arsinh}\biggl(\frac{3x}{4}\biggr) \biggr]_0^2 \\ =&\,\frac23\operatorname{arsinh}\biggl(\frac32\biggr). \end{align*}

Since

arsinh⁡t=ln⁡(t+t2+1),\operatorname{arsinh}t =\ln\bigl(t+\sqrt{t^2+1}\bigr),

we obtain

∫−2219x2+16 dx= 23ln⁡(32+94+1)= 23ln⁡(32+1213).\begin{align*} \int_{-2}^{2} \frac{1}{\sqrt{9x^2+16}}\,\mathrm{d}x =&\,\frac23\ln\biggl( \frac32+\sqrt{\frac94+1} \biggr) \\ =&\,\boxed{ \frac23\ln\biggl(\frac32+\frac12\sqrt{13}\biggr) }. \end{align*}

Thus

a=23,b=32,c=12.\boxed{a=\frac23,\qquad b=\frac32,\qquad c=\frac12}.

Equivalently, the exact value may be written as

13ln⁡(112+3213).\frac13\ln\biggl(\frac{11}{2} +\frac32\sqrt{13}\biggr).