5.

其中 $a$ 为正实数。

已知 $2$ 是 $A$ 的特征值。

(a) 求

(i) $a$ 的值

(ii) $A$ 的另外两个特征值

已知特征值 $2$ 的一个单位特征向量为

(b) 求另外两个特征值对应的单位特征向量

(c) 因此求矩阵 $P$ 和对角矩阵 $D$，使得 $P^TAP=D$

因为 2 是特征值，所以 $\det(A-2I)=0$。展开这个行列式即可得到关于 $a$ 的二次方程，再利用 $a>0$ 排除负值。

Since $2$ is an eigenvalue,

Now

Expanding along the first row,

As $a>0$,

令非零特征向量为 $(x,y,z)^T$，直接写出 $A\mathbf x=2\mathbf x$ 的三个分量方程。消去 $y,z$ 后可得到同一个关于 $a$ 的二次方程；过程中还要说明 $x\ne0$，才能合法地约去 $x$。

Let

be a non-zero eigenvector for the eigenvalue $2$. From $A\mathbf x=2\mathbf x$,

The second equation gives

and the third gives

If $x=0$, these equations force $y=z=0$, which is impossible for an eigenvector. Hence $x\ne0$.

Substituting for $y$ and $z$ in the first equation and dividing by $x$,

Since $a>0$,

把 $a=2$ 代回矩阵，展开一般的特征行列式。中间的附加项恰好抵消，三次式可直接分解为三个一次因式；除去已知特征值 2，即得另外两个特征值。

With $a=2$,

The characteristic equation is

Therefore, the other two eigenvalues are

对每个新特征值分别解 $(A-\lambda I)\mathbf x=\mathbf0$，先取一组简单整数比例的特征向量，再除以其模长得到单位特征向量。任一单位特征向量的相反向量也同样正确。

For $\lambda=4$,

Solving $(A-4I)\mathbf x=\mathbf0$ gives

Taking $y=-1$ gives the eigenvector

whose magnitude is $\sqrt5$. Hence a normalised eigenvector is

For $\lambda=5$,

Solving $(A-5I)\mathbf x=\mathbf0$ gives

Taking $x=1$ gives the eigenvector

whose magnitude is $\sqrt{54}$. Hence a normalised eigenvector is

特征向量与 $A-\lambda I$ 的各行垂直，因此可取两条不平行行向量的叉积。再核对剩余一行，最后除以模长。

For $\lambda=4$, use the first two rows of $A-4I$:

Taking half gives $(0,-1,2)$. The third row also gives $4(0)+2(-1)+2=0$, and its magnitude is $\sqrt5$. Thus a normalised eigenvector is

For $\lambda=5$,

The third row gives $4(1)+2(-2)=0$, and the magnitude is $\sqrt{1+4+49}=\sqrt{54}$. Hence a normalised eigenvector is

把三个单位特征向量按固定次序作为 $P$ 的列，并将相应特征值按同一顺序放在 $D$ 的主对角线上。由 $AP=PD$ 可得到对角化关系；原题所写转置的问题见本题末尾提醒。

Take

with

The columns of $P$ are normalised eigenvectors in the same order as the diagonal entries of $D$, so

Since the three eigenvalues are distinct, the columns are linearly independent, so $P$ is invertible. Hence